Raumwinkel

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Eine Kugel kann aus infinitesimalen Flächenelementen $d\Omega$ bestehend gedacht werden. Denkt man sich nun auf der Einheitskugel ($R=1$) eine Linie vom Kugelmittelpunkt zum Kugelmantel und bewegt diese Linie azimuthal um den Winkel $d\vartheta$ und dann polar um den Winkel $d\varphi$, so zeichnet die Linie ein Flächenelement mit den Seiten $sin(\vartheta)d\varphi$ und $d\vartheta$ auf den Mantel.

$d\Omega=sin(\vartheta) \cdot d\varphi \cdot d\vartheta$

Wenn die Kugel den Radius $R$ hat und das Flächenelement um den Winkel $\varepsilon$ von der Kugeloberfläche geneigt ist (siehe Abb.), ergeben sich die Seiten des Flächenelements zu

$dA=\left( R\cdot sin(\vartheta) \cdot d\varphi \right) \cdot \left( \frac{R}{cos\varepsilon} \cdot d\vartheta \right)= \frac{R^2}{cos\varepsilon} \cdot sin(\vartheta) \cdot d\varphi \cdot d\vartheta=\frac{R^2}{cos\varepsilon} \cdot d\Omega $

Raumwinkel

Für eine Kugel mit Fläche $A=4\pi R^2$ erhlaten wir

$\Omega=\frac{A}{R^2}=\frac{4\pi R^2}{R^2}=4\pi$ sr [steradiant]