Reziproker Raum

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Basisverktoren im Ortsraum $\mathbf{a}_i$ haben die Einheit $m$ (Meter). Transformiert man die Basisvektoren in den reziproken Raum, so erhält man die Einheit $1/m$ die genau der Einheit der Wellenzahl $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ entspricht. Viele Probleme lassen sich daher im reziproken Raum einfacher lösen, so lässt sich z.B. die Bedingung für konstruktive Interferenz bei Kristall-Beugungs-Experimenten im reziproken Raum leicht ausdrücken.

Ein 3-dimensionales Punktgitter wird durch drei Basisvektoren \( \vec {a_1}\), \( \vec {a_2}\) und \( \vec {a_3}\) beschrieben. Dieses Gitter wird auch reales oder direktes Gitter genannt. Die Basisvektoren des zu diesem Gitter reziproken Gitters \( \vec {b_1}\), \( \vec {b_2}\) und \( \vec {b_3}\) ergeben sich aus den Gleichungen:

Kristallographie Festkörperphysik
\(\mathbf{b}_1=\frac{ \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\) \(\mathbf{b}_1= 2\pi \,\frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\)
\(\mathbf{b}_2=\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\) \(\mathbf{b}_2=2\pi \,\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\)
\(\mathbf{b}_3=\frac{ \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\) \(\mathbf{b}_3=2\pi \,\frac{ \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}\)

Die reziproken Basisvektoren $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3$ im reziproken Raum haben folgende geometrische Bedeutung. Der Vektor $\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2$ steht normal auf die von $\mathbf{a}_1$ und $\mathbf{a}_2$ aufgespannte Ebene, sein Betrag entspricht genau der reziproken Höhe $\frac{1}{d_{001}}$ des Parallelepipeds (in der Festkörperphysik kommt noch ein Faktor $2\pi$ hinzu), denn der Betrag von $|\mathbf{b}_3|$ wird aus dem Verhältnis von Fläche $\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2$ und Volumen $\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)$ gebildet. Die Höhe $d_{001}$ des Parallelepipeds ist definiert als der Normalabstand der $[0,0,1]$ Ebenen zweier benachbarter Elementarzellen.

Geometrische Interpretation der reziproken Basisvektoren

In äquivalenter Weise gilt für die anderen reziproken Basisvektoren \begin{align} |\mathbf{b}_1|=\frac{1}{d_{100}}\\ |\mathbf{b}_2|=\frac{1}{d_{010}}\\ |\mathbf{b}_3|=\frac{1}{d_{001}}\\ \end{align} Aus der Definition der reziproken Basisvektoren folgt außerdem unmittelbar. \begin{align} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_i=\delta_{ij} \end{align}

Durch Translation der reziproken Basisvektoren kann wie im Ortsraum ein Punktgitter definiert werden, das wir reziprokes Punktgitter bzw. reziprokes Kristallgitter nennen. Das reziproke Punktgitter ist definiert als die Menge aller Linearkombinationen der reziproken Basisvektoren \[ H := \left \{ \left. \sum_{h,k,l} h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3 \; \right| \, h,k,l \in \mathbb{Z}\right\}\] Die Koeffizienten $h,k,l$ werden Millerindizes genannt. Ein reziproker Gitterpunkt ist eindeutig durch die drei Millerindizes bestimmt. \begin{align} \mathbf{H}_{h,k,l}=h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3 \end{align}

Gitterebene (orange) im Ortsraum charakterisiert durch $\mathbf{a}_1/h + \mathbf{a}_2/k +\mathbf{a}_3/l$

Die Gitterebene, durch das Tupel $(hkl)$ dargestellt, wird durch Verbinden der Endpunkte der drei Vektoren \begin{align} \frac{\mathbf{a}_1}{h}, \frac{\mathbf{a}_2}{k},\frac{\mathbf{a}_3}{l} \end{align} konstruiert. Der Vektor $\mathbf{H}_{h,k,l}$ steht normal auf die Gitterebene. Dies ist leicht zu zeigen, indem wir das Produkt zwischen den Vektoren, welche die Gitterebenen aufspannen $\left( \frac{\mathbf{a}_2}{k}-\frac{\mathbf{a}_1}{h} \right)$,$\left( \frac{\mathbf{a}_3}{l}-\frac{\mathbf{a}_1}{h} \right)$ und $\mathbf{H}_{h,k,l}$ bilden. \begin{align} \begin{pmatrix}h \\ k \\ l\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1/h \\ 1/k \\ 0\\ \end{pmatrix}=-1+1=0\\ \begin{pmatrix}h \\ k \\ l\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1/h \\ 0 \\ -1/l\\ \end{pmatrix}=1-1=0\\ \end{align} Man definiert die Distanz zwischen zwei Gitterebenen $d_{hkl}$ als Produkt aus dem Einheitsvektor $\hat{\mathbf{n}}$ von $\mathbf{H}_{h,k,l}$ mit einem der drei Vektoren $\frac{\mathbf{a}_1}{h}, \frac{\mathbf{a}_2}{k},\frac{\mathbf{a}_3}{l}$. \begin{align} d_{hkl}=\hat{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a}_1}{h}=\hat{\mathbf{n}} \frac{\mathbf{a}_2}{k} &=\hat{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a}_3}{l}\\ &=\frac{h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3}{|\mathbf{H}_{h,k,l}|}\frac{\mathbf{a}_1}{h}\\ &=\frac{h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3}{|\mathbf{H}_{h,k,l}|} \frac{\mathbf{a}_2}{k}\\ &=\frac{h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3}{|\mathbf{H}_{h,k,l}|}\frac{\mathbf{a}_3}{l} \end{align} sodass man mit der Eigenschaft $\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_i=\delta_{ij}$ leicht einsieht, dass für den Betrag von $|\mathbf{H}_{h,k,l}|$ gilt \begin{align} |\mathbf{H}_{h,k,l}|=\frac{1}{d_{hkl}} \end{align}