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Durch die de Broglie Beziehung gilt $p=\hbar k$ und wir erhalten für die Energie $E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$. Benutzen wir nun noch die Einstein Beziehung $E=\hbar \omega$ können wir schreiben.

$\left( \hbar \omega - \frac{\hbar^2k^2}{2m} \right)\cdot e^{i(\mathbf{kr}-wt)}=0$

Mithilfe der zeitlichen und räumlichen Ableitung schreiben wir

$\left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \right)\cdot e^{i(\mathbf{kr}-wt)}=0$

und erhalten somit die Schrödingergleichung für ein "Freies Teilchen"

$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t)= -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi(\mathbf{r},t)$

Das Teilchen ist frei, weil es sich nicht in einem Potential befindet bzw. das Potential const. ist.

Für ein Teilchen im zeitunabhängigen Potential $V(\mathbf{r})$ gilt

$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r},t)$

Wir betrachen nun ein stationäres, also zeitunabhängiges Problem mit der Wellenfunktion $\psi(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{kr}}$ . Dann ist die räumliche Ableitung mit $k^2=\frac{2m}{\hbar^2}E_{kin}$

$\Delta \psi= \Delta e^{i\mathbf{kr}}=-\mathbf{k}^2 \psi= -\frac{2m}{\hbar^2}E_{kin} \psi$

somit erhalten wir die stationäre Schrödingergleichung mit $E_{kin}=E-V$

$\underbrace{\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta +V\right)}_{H} \psi=E \psi$

dieses Eigenwertproblem kann mit dem Hamilton Operator $H$ kurz

$H\psi=E \psi$

geschrieben werden kann.

• Die Schrödingergleichung lässt sich nicht Herleiten sie ist ein Postulat.
• Sie ist eine lineare homogene Partielle Differentialgleichung.
• mit quadratischern Dispersionsrelation $ \omega^2=(k_1^2+k_2^2+k_3^2)c^2$