Spin-Bahn-Kopplung (Feinstruktur)

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Für $l \geq 1$ spaltet sich jeder Energieterm des Wasserstoffatoms in zwei Komponenten auf. Diese Aufspaltung in neue Energietherme ist sehr fein, also nur bei hoher Auflösung erkennbar, man spricht daher auch von der Feinstruktur. Die Feinstruktur kann nur relativistisch erklärt werden und kann deshalb nicht Lösung der Schrödingergleichung, die nichtrelativistisch ist, sein. Die Feinstruktur wurde von Willis Eugene Lamb entdeckt, er erhielt dafür 1955 den Nobelpreis für Physik.

Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in das Elektron $\mathbf{r}=\mathbf{r}_K-\mathbf{r}_e \Rightarrow \mathbf{r}=-\mathbf{r}_e $, so kreist der Kern um das Elektron und erzeugt dabei nach dem Biot-Savart'schen Gesetz ein Magnetfeld.

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 Z \cdot e}{4\pi r^3}(\mathbf{v} \times (-\mathbf{r}_e))=\frac{\mu_0 Z \cdot e}{4\pi r^3 m_e} \cdot \mathbf{l}$

wobei $\mathbf{l}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$. Das Magnetfeld ist aber wegen relativistischen Effekten nur halb so groß, muss also mit dem Thomas-Faktor $1/2$ multipliziert werden.

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 Z \cdot e}{8\pi r^3 m_e} \cdot \mathbf{l}$

so ergeben sich die Spin-Bahn-Kopplungsenergien

$E_{n,l,s}=E_n-\mu_s \cdot \mathbf{B}=E_n-\underbrace{g_s \mu_B \cdot \frac{\mu_0 Z \cdot e}{8\pi r^3 m_e \hbar}}_{ \approx \frac{\mu_0 Z \cdot e^2 }{8\pi r^3 m_e^2}} \cdot (\mathbf{s \cdot l})$

Weil der Gesamtdrehimpuls $\mathbf{j}=\mathbf{l+s}$ mit $|\mathbf{j}|=\sqrt{j(j+1)}\cdot \hbar$ quadriert $\mathbf{j}^2=\mathbf{l}^2+2ls+\mathbf{s}^2$ ergiebt folgt

$\mathbf{s \cdot l}=\frac{1}{2}(\mathbf{j}^2-\mathbf{l}^2-\mathbf{s}^2)=\frac{1}{2}\hbar^2[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]$

sodass wir mit der Spin-Bahn-Kopplungskonstante $a= \frac{\mu_0 Z \cdot e^2 \hbar^2}{8\pi r^3 m_e^2}$ die Energieniveaus schreiben können als

$E_{n,l,s}=E_n-\frac{a}{2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]$

Die Feinstrukturaufspaltung kann als Zeeman-Aufspaltung infolge der Wechselwirkung des magnetischen Spinmomentes mit dem Magnetfeld, welches durch die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt wird verstanden werden.