Stehende Wellen

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search

Stehende elektromagnetische Wellen z.B. in einem Hohlraum müssen Randbeidingungen erfüllen, so müssen an den Wänden des Hohlraums Schwingungsknoten sein. Für einen Quader mit Seitenlängen $a,b,c$ und Koordinaten Ursprung in einer Ecke des Quaders so muss also für das elektrische Feld $\mathbf{E}$ gelten.

$E_x=0$ an den Stellen $y=0,b$ und $z=0,c$
$E_y=0$ an den Stellen $x=0,a$ und $z=0,c$
$E_z=0$ an den Stellen $x=0,a$ und $y=0,b$

In drei Dimensionen hat der Wellenzahlvektor $\mathbf{k}$ die Komponenten (k_x, k_y, k_z). Damit stehende Wellen im Hohlraum enstehen können muss $n$ mal die halbe Wellenlänge in eine Raumrichtung gleich der Länge des Hohlraums in diese Richtung entsprechen $n \cdot \lambda_x /2 = a$; daraus ergibt sich für die Wellenzahl $n \cdot \pi = a \cdot k_x $.

$k_x=n \pi /a; \hspace{1cm} k_y=m \pi / b; \hspace{1cm} k_z = p \pi /c$

Stehendewelle.png

Für den Betrag des Wellenvektors erhalten wir

$|\mathbf{k}|=k=\pi \sqrt{\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}+\frac{p^2}{c^2}}$

Es ergiebt sich durch Umformen mit $k=w/c_0$

$\omega=\pi \cdot c_0 \cdot \sqrt{\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}+\frac{p^2}{c^2}}$

Die stehenden Wellen im Quader haben dann folgende Form

$\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 \cdot cos(\omega t)$

$\mathbf{E}_0=(E_{0x},E_{0y},E_{0z})$

$E_{0x}=A \cdot cos\left(\frac{n \pi}{a}x \right) sin\left(\frac{m \pi}{b}y \right) sin\left(\frac{q \pi}{c}z \right)$
$E_{0y}=B \cdot sin\left(\frac{n \pi}{a}x \right) cos\left(\frac{m \pi}{b}y \right) sin\left(\frac{q \pi}{c}z \right)$
$E_{0z}=C \cdot sin\left(\frac{n \pi}{a}x \right) sin\left(\frac{m \pi}{b}y \right) cos\left(\frac{q \pi}{c}z \right)$

Man nennt einen Hohlraum mit solchen sich in Eigenschwingung befindenden stehenden Wellen einen Hohlraumresonator. Die Eigenschwingungen mit Wellenlänge $n \lambda_{x,y,z} /2 = a,b,c$ werden Resonatormoden genannt.

Rechnen wir nun mit einem Quader gleicher Seitenlängen $a=b=c$ weiter.

$\omega=\frac{\pi \cdot c_0}{a} \cdot \sqrt{n^2+m^2+q^2}$

Im k-Raum mit dem Koordinatensystem und Achsen $k_x$, $k_y$, $k_z$ liegt der Punkt ($n,m,q$) auf einem Gitter mit der Gitterkonstanten $\pi/a$. Die Anzahl der Gitterpunkte im k-Raum entspricht der Anzahl der Eigenschwingungen im Hohlraum.

Wir machen nun die Annahme, dass die Wellenlänge $\lambda /2 << a$. Ist dies der Fall, sind $n,m,q$ groß und wir können wir die Zahl der Gitterpunkte $N_G$ (entspicht der Zahl der Eigenschwingungen) durch das Verhältnis

$N_G=V_k/V_E$

ausdrücken. Dabei ist $V_k$ das Volumen eines Kugeloktanten mit Radius $k=\omega /c \Rightarrow V_k = \frac{1}{8} \frac{4 \pi k^3}{3}= \frac{\pi}{6} \left( \frac{\omega}{c_0} \right)^3$ und $V_E$ das Volumen der Einheitszelle $(\pi/a)^3$

$N_G=V_k/V_E= \frac{\pi}{6} \left( \frac{a \omega}{\pi c_0} \right)^3$

Oktant.png

Jede elektromagnetische Welle, die sich entlang einer Raumaxe ausbreitet, kann durch Überlagerung zweier normal zur Ausbreitungsrichtung stehenden Wellen beschrieben werden (Welle in z-Richtung $\mathbf{E}=\mathbf{E}_0\cdot sin(\omega t) \cdot sin(kz)$ mit $\mathbf{E}_0=E_{0x}\hat{\mathbf{e}}_x+E_{0y}\hat{\mathbf{e}}_y$), so finden wir die Zahl der möglichen Eigenschwingungen im Hohlraum nur halb so groß.

$N_G= \left( \frac{8 a \omega}{ c_0} \right)^3=\frac{8\pi\nu^3a^3}{3c_0^3}$

Es wurde $\omega=2\pi \nu$ verwendet. Die Anzahl der Moden pro Volumseinheit $a^3$ im Ortsraum wird Modendichte genannt und ist

$n = N_G/V=\left( \frac{8 \omega}{3 c_0} \right)^3=\frac{8\pi\nu^3}{3c_0^3}$



Wir erhalten schließlich die spektrale Modendichte des Hohlraumresonators

$dn / d\nu =\frac{8\pi\nu^2}{c_0^3}$