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Wir betrachten ein Teilchen in einem unendlich hohen Potential $V(x)$ welches das Teilchen in einem eindimensionalen Kasten einsperrt. $V(x)$ ist überall unendlich "hoch" und nur zwischen $0$ und $L$ null. Das Teilchen muss am unendlich hohen Potential total reflektiert werden und deshalb ist $\phi (x)$ außerhalb des Intervalls $[0,L]$ null. <br\><br\>[[File:Infinite_potential_well.svg|thumb|320px]]
\begin{align}
V(x)=\begin{cases} 0 &\mbox{für } 0 \leq x \leq L \\
\infty & \mbox{sonst } \end{cases}
\end{align}
Obwohl sich das Teilchen streng genommen in einem Potential befindet, behandeln wir das Teilchen als frei. Wir machen das, weil wir wissen, das sich das Teilchen innerhalb des Kastens befinden muss. Alle Einschränkungen der Teilchenbewegung kommen daher von den Randbedingungen. Die Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen in einer Dimension lautet

\begin{align}
\frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \\
\end{align}

Schreiben wir die Gleichung mit $k=\frac{\sqrt{E 2m}}{h}$ um
\begin{align}
 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = -k^2 \phi(x) \\
\end{align}

erkennen wir, dass dies der harmonische Oszillator mit der Lösung

\begin{align}
\phi = Ae^{ikx} + A'e^{-ikx}
\end{align}
ist. Mit der Randbedingung $\phi(0)=\phi(L)=0$ erhalten wir 
\begin{align}
\phi(0) = A + A'=0
\end{align}
$A'=-A$ und damit
\begin{align}
\phi(x)=A(e^{ikx}-e^{-ikx})=2iA sin(kx)=C \cdot sin(kx)
\end{align}

Mit der zweiten Randbedingung erhalten wir
\begin{align}
\phi(L)=C \cdot sin(k_n L)=0 \Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{L}
\end{align}


Die Lösung der Wellengleichung für den unendlich tiefen Potentialtopf lautet.

\begin{align}
\phi_n(x)=C \cdot sin(\frac{n\pi}{L}x)
\end{align}
wir müssen diese nur noch normieren
\begin{align}
\int_0^L dx \, |C|^2 sin^2(k_n x)=|C|^2 \frac{L}{2} \Rightarrow C=\sqrt{\frac{2}{L}}
\end{align}
Die normierte Lösung der Schrödinger Gleichung ist daher unendlich tiefen Potentialtopf is daher

<div style="background:#FEF5CA;border:1px solid #797979;border-radius:10px;padding:5px 15px 5px 15px;">
\begin{align}
\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \cdot sin(\frac{n\pi}{L}x)
\end{align}
</div>

Der Energiewert der $n-$ten Eigenschwingung ist

\begin{align}
E_n=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}k_n^2=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2}
\end{align}


<div style="background:#FEF5CA;border:1px solid #797979;border-radius:10px;padding:5px 15px 5px 15px;">
\begin{align}
E_n=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2}
\end{align} 
</div><br\>
mit der Nullpunktsenergie <br\>

<div style="background:#FEF5CA;border:1px solid #797979;border-radius:10px;padding:5px 15px 5px 15px;">
\begin{align}
E_1=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}
\end{align} 
</div><br\>
und nicht wie vielleicht erwartet null!<br\><br\>


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Literatur:
**D. Griffiths - Introduction to Quantum Mechanics