Teilchen im 1-D Kasten

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Wir betrachten ein Teilchen in einem unendlich hohen Potential $V(x)$ welches das Teilchen in einem eindimensionalen Kasten einsperrt. $V(x)$ ist überall unendlich "hoch" und nur zwischen $0$ und $L$ null. Das Teilchen muss am unendlich hohen Potential total reflektiert werden und deshalb ist $\phi (x)$ außerhalb des Intervalls $[0,L]$ null.

\begin{align} V(x)=\begin{cases} 0 &\mbox{für } 0 \leq x \leq L \\ \infty & \mbox{sonst } \end{cases} \end{align} Obwohl sich das Teilchen streng genommen in einem Potential befindet, behandeln wir das Teilchen als frei. Wir machen das, weil wir wissen, das sich das Teilchen innerhalb des Kastens befinden muss. Alle Einschränkungen der Teilchenbewegung kommen daher von den Randbedingungen. Die Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen in einer Dimension lautet

\begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \\ \end{align}

Schreiben wir die Gleichung mit $k=\frac{\sqrt{E 2m}}{h}$ um \begin{align} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = -k^2 \phi(x) \\ \end{align}

erkennen wir, dass dies der harmonische Oszillator mit der Lösung

\begin{align} \phi = Ae^{ikx} + A'e^{-ikx} \end{align} ist. Mit der Randbedingung $\phi(0)=\phi(L)=0$ erhalten wir \begin{align} \phi(0) = A + A'=0 \end{align} $A'=-A$ und damit \begin{align} \phi(x)=A(e^{ikx}-e^{-ikx})=2iA \sin(kx)=C \cdot \sin(kx) \end{align}

Mit der zweiten Randbedingung erhalten wir \begin{align} \phi(L)=C \cdot \sin(k_n L)=0 \Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{L} \end{align}


Die Lösung der Wellengleichung für den unendlich tiefen Potentialtopf lautet.

\begin{align} \phi_n(x)=C \cdot \sin(\frac{n\pi}{L}x) \end{align} wir müssen diese nur noch normieren \begin{align} \int_0^L dx \, |C|^2 \sin^2(k_n x)=|C|^2 \frac{L}{2} \Rightarrow C=\sqrt{\frac{2}{L}} \end{align} Die normierte Lösung der Schrödinger Gleichung ist daher unendlich tiefen Potentialtopf is daher

\begin{align} \phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin(\frac{n\pi}{L}x) \end{align}

Der Energiewert der $n-$ten Eigenschwingung ist

\begin{align} E_n=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}k_n^2=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2} \end{align}


\begin{align} E_n=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2} \end{align}


mit der Nullpunktsenergie

\begin{align} E_1=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2} \end{align}


und nicht wie vielleicht erwartet null!

Die Lösung der Zeitabhängingen Schrödinger Gleichung ist durch die Superposition der Teillösungen gegeben.

\begin{align} \psi(x,t)= \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin(\frac{n\pi}{L}x) \cdot e^{i \frac{\hbar}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2} t} \end{align}


Die Koeffizienten $c_n$ können durch die Anfangsbedingung $\psi(x,0)$ bestimmt werden. Wenn wir die Orthogonalität Wellenfunktion $\phi_n(x)$ benutzen und ähnlich wie die Fouerierkoeffizienten $c_n$ bestimmen.

\begin{align} c_n= \sqrt{\frac{2}{L}} \int dx \, \sin(\frac{n\pi}{L}x) \psi(x,0) \end{align}





Literatur:

  • D. Griffiths - Introduction to Quantum Mechanics