Teilchen im endlichen Potentialtopf

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Kastenpotential mit endlicher Tiefe

Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.


\begin{align} V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} \end{align}

Gebundene Zustände

Für Energien $E<0$ ist das Teilchen im Potentialtopf gebunden, im Gegensatz zu einem klassischen Teilchen kann es jedoch in das Potential eindringen. Wir definieren die Eindringtiefe als jene Tiefe, bei der die Wellenfunktion auf $1/e$ ihres ursprünglichen wertes abgefallen ist.

Bereich I

Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\kappa$ definieren als \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

Die allgemeine Lösung $\psi _I(x)$ in diesem Bereich ist dann \begin{align} \psi _I(x)=A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x} \end{align} Da $e^{-\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$ \begin{align} \psi _I(x,t)=A e^{\kappa x} \end{align}

Bereich II

Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$ \begin{align} \left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) =- \ell^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\ell$ definieren als \begin{align} \ell = \frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar } \end{align}

Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$. Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist \begin{align} \psi _{II}(x)=C e^{i\ell x} + D e^{-i\ell x} \end{align} aber wir können auch das Fundamentalsystem $\{ \sin(\ell x) , \cos(\ell x) \}$ wählen \begin{align} \psi _{II}(x)=C \sin(\ell x) + D \cos( \ell x) \end{align} Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte

Bereich III

Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

mit \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{\kappa x}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb \begin{align} \psi _{III}(x)=F e^{-\kappa x} \end{align}

Eindringtiefe

Die Eindringtiefe ergibt sich aus \begin{align} e^{-1}=F e^{-\kappa x_E}\\ \frac{1}{\ln F}=\kappa x_E \end{align} zu \begin{align} x_E=\frac{1}{\kappa \ln F} \propto \frac{1}{\kappa} \end{align} aus der Symmetrie des Potentials folgt, dass $x_E$ in die Bereiche $I$ und $III$ gleich ist.

Bestimmung der Energieniveaus

Weil das Potential im Bereich $II$ symmetrisch ist, genügt es entweder eine gerade $D \cos(\ell x)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(\ell x)$ als Lösung zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Wir bestimmen nun die Energieniveaus im Potentialtopf. Wegen den Stetigkeitsbediungen bei $a/2$ muss gelten \begin{align} \psi _{II}(a/2)=\psi _{III}(a/2)\\ D \cos(\ell a/2)=F e^{-\kappa a/2} \tag{1} \end{align} und \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a/2)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a/2)\\ D (-\ell) \sin(\ell a/2)=F (- \kappa ) e^{-\kappa a/2}\tag{2} \end{align} Division von (2) durch (1) ergibt

\begin{align} \kappa =\ell \frac{ \sin(\ell a/2)}{ \cos(\ell a/2)} = \ell \cdot \tan(\ell a/2)\tag{3} \end{align}

Wir möchten nun die Energie für die gebundenen Zustände bestimmen. Da $E$ sowohl in der Formel für $\kappa$ als auch jener für $\ell$ vorkommt, können wir die erlaubten Energiewerte von im Potentialtopf als Schnittpunkte der Graphen der Gleichungen für $\kappa$ und $\ell$ bestimmen. \begin{align} \kappa^2 = \frac{-2mE}{\hbar^2 } \quad \text{und} \quad \ell^2 = \frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 } \end{align}

\begin{align} \kappa^2 + \ell^2= \frac{-2mE}{\hbar^2 }+\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 } =\frac{2m V_0}{\hbar^2 }\\ \end{align} daraus erhalten wir \begin{align} \frac{\kappa^2}{\ell^2}=\frac{2m V_0}{\hbar^2 \ell ^2}-1\\ \end{align} Diese Gleichung zusammen mit (3) ergibt \begin{align} \sqrt{\frac{2m V_0}{\hbar^2 \ell ^2 }-1}=\tan(\ell a/2)\\ \end{align} Wenn wir nun das argument des $\tan$ umbenennen $\ell a/2=z$ und die linke Seite als Funktion von $z$ schreiben erhalten wir \begin{align} \sqrt{\left(\frac{z_0}{z } \right)^2-1}=\tan(z) \tag{4}\\ \end{align} mit \begin{align} z_0=\frac{a}{2\hbar} \sqrt{2mV_0} \end{align} Gleichung (4) kann graphisch gelöst werden. Für ein bestimmtes $V_0$ können wir $z_0$ berechnen und $\sqrt{\left(\frac{z_0}{z } \right)^2-1}$ zusammen mit $\tan(z) $ auftragen. Die Schnittpunkte sind Lösungen für $z_n$ aus denen sich $\ell _n$ bestimmen lässt und aus $\ell _n$ könne wir die Energieeigenwerte $E_n$ berechnen.

Schematische Lösung durch finden der Schnittpunkte. Erhöht man $|V_0|$ so wird auch $z_0$ erhöht und damit der graph $\sqrt{\left(\frac{z_0}{z } \right)^2-1}$ nach oben verschoben, der Graph schneidet dann mehrere $\tan$-graphen. Es gilt also je tiefer der Potentialtopf desto mehr Energie niveaus existieren.

Breiter, Tiefer Potentialtopf

Für große $z_0$ liegen die Schnittpunkte näherungsweise bei $z_n=n \pi /2$ für $n$ ungerade. Mit der Gleichung \begin{align} \ell^2 = \frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 } \end{align} und $z^2=\ell^2 a^2/4$ erhalten wir \begin{align} z_n^2= \frac{2m(E_n+V_0)a^2}{\hbar^2 4} =\frac{n^2 \pi ^2}{ 4} \end{align} daraus ergibt sich \begin{align} E_n+V_0=\frac{n^2 \pi ^2 \hbar^2}{2m a^2} \end{align} Das ist genau das bekannte Energiespektrum für einen unendlich hohen Potentialtopf.

Schmaler, Niedriger Potentialtopf

Je niedriger der Potentialtopf wird, also desto niedriger $z_0$, desto tiefer liegt der graph von $\sqrt{\left(\frac{z_0}{z } \right)^2-1}$. Je tiefer der graph liegt, desto weniger gebundende Energiezustände existieren. Es bleibt aber auf jeden Fall ein gebunderner Zustand übrig, egal wie klein $V_0$ wird (In drei dimensionen is dies nicht mehr der Fall).

Ungebundene (Streu-) Zustände

Für Energien $E>0$ ändert sich in den Berichen $I$ und $III$ die Lösung der Schrödinger Gleichung

Bereich I

Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) =- k^2 \phi(x) \end{align} mit \begin{align} k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar } \end{align} Man beachte das negative Vorzeichen. Die Lösungen sind daher auch in den Berichen $I$ und $III$ harmonisch. \begin{align} \phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x} \end{align} $A e^{i k x}$ beschreibt eine Welle die in die positive $x$-Richtung läuft. Die Wellenausbreitung von $B e^{-i k x}$ folgt der entgegengesetzten Richtung. Wir fragen nun welcher Anteil der Wellen an den Kanten $\pm a/2$ gestreut wird.

Bereich II

Im Bereich $II$ gilt noch immer dieselbe Schrödinger Gleichung wie für gebundene Zustände.

Bereich III

Es gilt dieselbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$. Wir nehemen allerdings an, dass sich Teilchen nur in die positive $x$-Richtung bewegen (außer sie werden reflektiert), es kommen also keine Teilchen von $x=+\infty$. Im Bereich $III$ ist die Lösung der Schrödinger Gleichung daher. \begin{align} \phi(x) = F e^{i k x} \end{align}


Reflexion und Transmission an Potentialkanten

Aus der Kontinuität der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen bei $-a/2$ und $a/2$ erhalten wir das Gleichungssystem \begin{align} \phi(-a/2) &= A e^{i k (-a)/2} + B e^{-i k (-a)/2}=C \sin(\ell (-a)/2) + D \cos( \ell (-a)/2)\\ \phi'(-a/2) &= A i k e^{i k (-a)/2} + B (-i) k e^{-i k (-a)/2}=C \ell \cos(\ell (-a)/2) + D (-\ell) \sin( \ell (-a)/2)\\ \phi(a/2) &= F e^{i k a/2}=C \sin(\ell a/2) + D \cos( \ell a/2)\\ \phi'(a/2) &= F i k e^{i k a/2} =C \ell \cos(\ell a/2) + D (-\ell) \sin( \ell a/2)\\ \end{align} Wir eliminieren $C$ und $D$ \begin{align} \frac{B}{F}=i \frac{\sin (\ell a)}{k \ell} (\ell ^2 - k^2) \end{align} bzw. $C$ und $D$ \begin{align} \frac{F}{A}= \frac{e^{-ika}}{\cos(\ell a) - \frac{B}{F}}=\frac{e^{-ika}}{\cos(\ell a) - i \frac{\sin (\ell a)}{k \ell} (\ell ^2 - k^2)} \end{align}

Der Transmissionskoeffizient $T=|F|^2/|A|^2$ unter verwendung der Energie, ist

Transmission als Funktion der Energie

\begin{align} T^{-1}=1+ \frac{V_0^2}{4E(E+V_0)} \sin^2\left(\frac{a}{\hbar} \sqrt{2m (E+V_0)} \right) \end{align} Das Potential wird maximal durchlässig (transparent) wenn das argument des sinus null wird \begin{align} \left(\frac{a}{\hbar} \sqrt{2m (E+V_0)} \right)=n \pi \end{align} Die Energieniveaus bei maximaler Transmission stimmen dann genau mit jenen des Teilchens im unendlich hohen Potentialtopf überein. \begin{align} E_n+V_0=\frac{n^2 \pi ^2 \hbar^2}{2m a^2} \end{align}

Der Reflexionskoffizient $R=|B|^2/|A|^2$ ist mit $R=1-T$ \begin{align} R=1-\left[ 1+ \frac{V_0^2}{4E(E+V_0)} \sin^2\left(\frac{a}{\hbar} \sqrt{2m (E+V_0)} \right) \right]^{-1} \end{align}





Literatur:

  • D. Griffiths - Introduction to Quantum Mechanics