Thermodynamische Prozesse

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Thermodynamische Porzesse

Der thermodynamische Zustand eines Systems kann mit den Zustandsgrößen beschrieben werden. Dabei wird zwischen intensiven Zustandsgrößen (beispielsweise Temperatur T, Druck p, Konzentration n und chemisches Potential μ) und extensiven Zustandsgrößen (beispielsweise innerer Energie U, Entropie S, Volumen V und Teilchenzahl N) unterschieden. Intensive Zustandsgrößen bleiben konstant wenn man das System vergrößert, extensive Zustandsgrößen nicht. Ein abgeschlossenes System kann mit den Zustandsgrößen $V,p,T$ beschrieben werden. Die Gleichung welche das abgeschlossene System eines Idealen Gases mit $N$ Molekülen beschreibt heißt Ideale Gasgleichung

\begin{align} p \cdot V = k_B \cdot N \cdot T \end{align}

Manchmal wird statt der Boltzmann-Konstante $k_B$ die ideale Gaskonstante $R$ verwendet. Es besteht der einfache Zusammenhang zwischen den Konstanten $\underbrace{k_B N_A}_{R} \cdot \underbrace{N/N_A}_n$. Die Ideale Gasgleichung kann mithilfe der Statistischen Mechanik oder den Spezialfällen bei denen jeweils eine Zustandsgröße konstant gehalten wird hergeleitet werden. Man kann sich die Spezialfälle leicht merken indem man sie aus der idealen Gasgleichung ableitet.

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik erlaubt es uns ein geschlossenes System zu beschreiben.

Geschlossenes System: Die Anzahl der Moleküle im System bleibt konstant, es kann aber Wärmeenergie $dQ$ ausgetauscht und die mechanische Arbeit $dW$ am System verrichtet werden.

Nach dem ersten Hauptsatz gilt mit einsetzen von $dW=p \, dV$ \begin{align} dQ=dU + p \, dV \end{align}


isochore Prozesse

isochor=konstantes Volumen

Fixieren wir den den Kolben, bleibt das Volumen des Systems konstant. Wird dem System die Wärmemenge $dQ$ zugeführt, geht diese direkt in innere Energie $dU$ über. Es wird keine mechanische Arbeit verrichtet. \begin{align} dU=dQ=C_V \cdot T \end{align} Die Proportionalitätskonstante $C_V$ heißt Wärmekapazität (bei konstantem Volumen). \begin{align} C_V=\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \end{align} Nach dem Gesetz von Amontons gilt für isochore Prozesse \begin{align} \frac{p}{T}=const. \end{align} Es steigt also gleichzeitig der Druck $p$ im System.

isobare Prozesse

isobar=konstanter Druck

Wir definieren die Freie Enthalpie als \begin{align} H=U+p \cdot V \end{align} dann gilt \begin{align} dH=dU+p \cdot dV + dp \cdot V =dU+p \cdot dV=dQ \end{align} Bei isobaren Prozessen wird die zugeführte Energie $dQ$ sowohl in innere Energie $dU$ als auch in Arbeit $dW$ umgewandelt, welche man Freie Enthalpie nennt. Die Änderung der Enthalpie ist proportional zur Termperatur mit Proportionalitätsfaktor $C_P$ \begin{align} C_P=\left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P \end{align} Nach dem Gesetz von Gay Lussac gilt \begin{align} \frac{V}{T}=const. \end{align} mit zunhemender Termperatur vergrößert sich also auch das Volumen.

Isotherme Prozesse

isotherm=konstante Temperatur

Bei konstanter Termperatur $dU:=0$ wird die Gesamte zugeführte Energie $dQ$ vollständig in Arbeit $p \, dV$ umgewandelt. \begin{align} dQ=dW=p \cdot dV \end{align} Die vom System verrichtete Arbeit ist \begin{align} W=\int\limits dW=\int\limits_{V_1}^{V_2} p \cdot dV =R \cdot T \int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}=R \cdot T \ln\frac{V_1}{V_2} \end{align} Es gilt das Boyle-Mariottesche Gesetz \begin{align} p \cdot V = const. \end{align} Man kann den Zusammenhang $p \propto \frac{1}{V}$ in einem $p-V$-Diagramm darstellen durch die Kurve $p = \frac{R \cdot T_K}{V}$. Man nennt solche Kurven isothermen, sie sind z.B. im $p-V$-Diagramm eines Carnot Prozesses eingezeichnet.

adiabatische Prozesse

adiabatisch=isentrop=konstante Entropie

Bei adiabatischen Prozessen wird keine Wärme zugeführt $dQ:=0$ \begin{align} dU=-p \cdot dV= C_V \cdot dT\\ -R \cdot \frac{dV}{V}= C_V \cdot \frac{dT}{T}\\ C_V \cdot \ln T = - R \cdot \ln V + const. \end{align} wobei wir die Ideale Gasgleichung $pV=nRT$ benutzt und integriert haben. Daraus ergibt sich durch umformen \begin{align} \ln \left(T^{C_V} \cdot V^{R} \right)=const. \end{align} mit $R=C_p-C_V$ und $\kappa = C_p/C_V$ erhält man so die Adiabatengleichungen (auch Poisson'sche Gleichungen)

\begin{align}
T \cdot V^{\kappa - 1} = const.
\end{align}
\begin{align}
p \cdot V^{\kappa} = const.
\end{align}

Auch die Adiabatenkurven sind im $p-V$-Diagramm des Carnot Prozesses eigenzeichnet $p \propto \frac{1}{V^{\kappa}}$

Carnot Prozess