Tunneleffekt

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Betrachten wir nun den Fall eines Rechteckigen Potentials, das im Intervall $[0,a]$ den konstanten Betrag $V(x)=E_0$ hat. Außerhalb dieses Intervalls ist $V(x)=0$ (siehe Abb. a)).

Potentialbarriere mit Breite $a$ und Höhe $E_0$


Wir machen den Ansatz

$\psi_I=A_1 e^{ikx}+A_1'e^{-ikx}$
$\psi_{II}=B_2 e^{\rho x}+B_2'e^{-\rho x}$
$\psi_{III}=A_3 e^{ikx}+A_3'e^{-ikx}$


wobei $A_3'=0$.

Aus der Stetigkeit der Wellenfunktion bei $x=a$ folgt
$ A_3'e^{ika}=B_2 e^{i\rho a}+ B_2' e^{-i\rho a}$
$ ik A_3'e^{ika}=i\rho B_2 e^{i\rho a}- i\rho B_2' e^{-i\rho a}$
$A_2=\left[ \frac{\rho +k}{2\rho} e ^{i(k-\rho) a} A_3 \right]$
$A_2'=\left[ \frac{\rho -k}{2\rho} e ^{i(k-\rho) a} A_3 \right]$

sowie bei Einsetzen der Randbedingung $x=0$
$A_1 + A_1'=B_2 + B_2'$
$ik(A_1 - A_1')=i\rho (B_2 - B_2')$

nach $A_1'$ Auflösen
$A_1'=B_2+B_2'-A_1$
$A_1'=A_1- \rho / k (B_2 -B_2')$

liefert $A_1$
$2A_1=B_2+B_2'+\rho / k (B_2-B_2')\Rightarrow A_1=B_2\frac{k+\rho}{2k}+B_2'\frac{k-\rho}{2k}$

in diese Formel setzen wir wiederum $A_2(A_3)$ bzw. $A_2'(A_3)$ ein.
\begin{align} A_1 &=\left[\frac{(k+\rho)^2}{4k \rho} e^{i(k-\rho) a} - \frac{(k-\rho)^2}{4k \rho} e^{i(k+\rho) a} \right]A_3 \\ &= \left[\frac{(k+\rho)^2-(k-\rho)^2}{4k \rho} cos(\rho a) - i\frac{(k-\rho)^2 +(k+\rho)^2}{4k \rho} sin(\rho a) \right]e^{ika}A_3 \\ &= \left[cos(\rho a) - i\frac{(k^2 +\rho^2)}{4k \rho} sin(\rho a) \right]e^{ika}A_3 \\ \end{align}

Auf gleiche Weise erhalten wir $A_1'$,
wenn wir nach $A_1$ Auflösen
$A_1=B_2+B_2'-A_1'$
$A_1= \rho / ik (B_2 -B_2')+A_1'$

$2A_1'=B_2+B_2'-\rho / k (B_2-B_2')\Rightarrow A_1=B_2\frac{k-\rho}{2k}+B_2'\frac{k+\rho}{2k}$ \begin{align} A_1' &=\left[\frac{(k+\rho)(k-\rho)}{2k} e^{i(k-\rho) a} + \frac{(k-\rho)(k+\rho)}{2k} e^{i(k + \rho) a} \right] A_3 \\ &= \left[\frac{(k^2-\rho^2)+(\rho^2-k^2)}{4k \rho} cos(\rho a) - i\frac{(\rho^2-k^2)-(k^2-\rho^2)}{4k \rho} sin(\rho a) \right] e^{ika}A_3 \\ &= i\frac{(\rho^2-k^2) }{2k \rho} sin(\rho a)e^{ika}A_3 \\ \end{align}

Abbildung b) Transmissionskoeffizient $T$ als Funktion von $a / \lambda$


Der Reflexionskoeffizient ist $R=|A_1'/A_1|^2$. Einsetzen liefert
$R=|\frac{A_1'}{A_1}|^2=\frac{\left( \frac{(\rho^2-k^2) }{2k \rho} sin(\rho a) \right)^2}{ cos^2(\rho a) - \left(\frac{(k^2 +\rho^2)}{4k \rho } sin(\rho a) \right)^2} =\frac{(\rho^2-k^2)^2 sin^2(\rho a)}{4 \rho^2 k^2 + (k_1^2-k_2^2)^2 sin^2(\rho a)}$

Der Transmissionskoeffizient (siehe Abb. b)) ist $T=|A_3/A_1|^2$
$T=|\frac{A_3}{A_1}|^2=\frac{1}{cos^2(\rho a) +\frac{(k^2 +\rho^2)^2}{4k^2 \rho^2} sin^2(\rho a)}=\frac{4 \rho^2 k^2}{4 \rho^2 k^2+(k^2 - \rho^2)^2 sin^2(\rho a)}$

Wir können diesen Ausdruck noch umformen und als Funktion von $E_0$, der Höhe der Potentialbariere und der Energie des Teilchens $E$ anbegen. Wir benutzen dafür die Relation $k^2=\frac{\hbar^2 E}{2m}$

$\frac{(k^2-\rho^2)^2}{4k^2\rho^2}=\frac{\frac{\hbar^4}{4m^2}(E-(E-E_0))^2}{4\frac{\hbar^4}{4m^2}(E(E-E_0))}$

$E^2-2E^2+2EE_0+E^2-2EE_0+E_0^2=E_0^2$

$\frac{(k^2-\rho^2)^2}{4k^2\rho^2}=\frac{E_0^2}{4(E(E-E_0))}$

$T=|\frac{A_3}{A_1}|^2=\frac{1}{1+\frac{E_0^2}{4(E(E-E_0))}sin(\rho a)}=\frac{1}{1+\frac{E_0}{4E}(\frac{E_0}{E}-1)sin(\rho a)}=\frac{E/E_0-1}{(E/E_0 -1)+(E_0/4E)sin(\rho a)}$

Abbildung b) zeigt die $sin(2\pi a/\lambda)$ abhängigkeit der Transmission. Analog zur Transmission in der klassischen Optik gibt es Interferenzerscheinungen durch Überlagerung der and Grenzflächen $x=0$ und $x=a$ reflektierten Anteile. Entspricht die Strecke zwischen bei $x=0$ und $x=a$ reflektierten Wellen $\Delta s=2a$ einem Vielfachen der Wellenlänge $\lambda$ entsteht konstruktive Interferenz. Die Maxima liegen daher bei $\lambda \cdot n=2a$. Minima liegen daher bei $\lambda \cdot n = (2m+1)a$. Bestechend ist auch der Vergleich mit der Airy Formel die das klassische Analogon der Reflexion/Transmission an Medien beschreibt. Die Breite des Potentials $a$ entspricht dort der Breite des Mediums.

Airy Formel (mit $\Delta \phi = \rho \Delta s$)

$I_T=I_0\frac{1}{1+F sin^2(\Delta \phi/2)}$