Universalität

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Um zu erörtern was Universalitäten sind, betrachten wir zuerst eine Differenzengleichung ähnlich der logistischen Gleichung. Die Funktion $x_{n+1}=sin(\pi x)$ hat im Intervall $[0,1]$ die selbe Form wie $x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$. Das qualitative Verhalten dieser Funktion ist deshalb unimodal also äquivalent zu jener der logistischen Gleichung, das System erfährt die selben Periodenverdopplungen, das führt auf ein kongruentes Orbit Diagramm. Die Periodenverdopplungen kommen aber bei anderen Kontrollparametern vor.


Feigenbaum-Konstanten

Feigenbaum betrachtete die logistische Gleichung und berechnete das Verhältnis zweier Differenzen. Die erste Differenz ist die Distanz zwischen der $n-1$-ten und $n$-ten Periodenverdopplung. Die zweite die die Differenz zwischen der $n$-ten und $n+1$-ten Periodenverdopplung. Er bemerkte, dass die Distanz immer um eine Konstanten Wert $\delta$ schrumpft. \begin{equation} \delta = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r_n-r_{n-1}}{r_{n+1}-r_n}=4.669 \dots \end{equation} Dasselbe konnte er auf der vertikalen Achse feststellen. Feigenbaum betrachtete das Maximum der Funtion $f$ das wir $x_m$ nennen. Zeichnet man $x_m$ in das Orbit Diagramm ein, schneidet die Horizontale linie das Orbit Diagramm. Wir nennen nun die Distanz zwischen den "Gabeln" der $i$-ten Periode, ausgehend vom Schnittpunkt, $d_i$ und definieren die Konstante \begin{equation} \alpha = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{d_n}{d_{n+1}}=-2.5029 \dots \end{equation} Feigenbaum vermutete erst, dass diese Konstanten charakteristisch für die logistische Gleichung sind. Er stellte dann aber erstaunt fest, dass sich für alle unimodalen Abbildungen die selben Konstanten ergeben. Diese nach Feigenbaum benannten Konstanten $\delta$ und $\alpha$ haben also eine ähnliche Bedeutung wie die Zahl $\pi$ und erlauben die Bestimmung der Bifurkationspunkte, sofern zwei Punkte bereits bekannt sind. In diesem Sinne sind diese Konstanten für alle unimodalen Abbildungen Universal.

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