Varianz beim Random Walk Problem

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Die Varianz lässt sich durch die Beziehung

\begin{equation} \langle \Delta n_1 \rangle ^2 = \langle ( n_1 - \langle n_1 \rangle)^2 \rangle=\langle n_1^2 \rangle - \langle n_1 \rangle^2 \end{equation}

leicht berechnen indem wir die in "Mittelwertbildung beim Random Walk Problem" eingeführte Methode zweimal anwenden um $\langle n_1^2 \rangle$ zu erhalten \begin{align} \langle n_1 \rangle^2=\sum\limits^{N}_{n_1=0} P(n_1) n_1^2 =\sum\limits^{N}_{n_1=0} n_1^2 \cdot \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1} \end{align} so schreiben wir das Produkt $n_1^2 p^{n_1}$ als \begin{align} n_1^2 p^{n_1}= \left( p \frac{\partial}{\partial p} \right)^2 p^{n_1} \end{align} und erhalten damit


\begin{align} \langle n_1^2 \rangle&=\sum\limits^{N}_{n_1=0} n_1^2 \cdot \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1}=\sum\limits^{N}_{n_1=0} \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} \left[ \left( p \frac{\partial}{\partial p} \right)^2 p^{n_1} \right] \cdot (1-p)^{N-n_1}\\ &=\left( p \frac{\partial}{\partial p} \right)^2 \left[ \sum\limits^{N}_{n_1=0} \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1} \right] \\ & \overset{B. L.}{=} \left( p \frac{\partial}{\partial p} \right)^2 (p + q)^N\\ & = p \frac{\partial}{\partial p} \left( pN \cdot (p + q)^{N-1} \right) = p \left( N \cdot \underbrace{(p + q)^{N-1}}_{=1} +pN \cdot (N-1)\underbrace{(p + q)^{N-2}}_{=1} \right)\\ & = pN+p^2N^2-p^2N=(pN)^2+pN(1-p) \\ & = (pN)^2 + Npq \\ & = \langle n_1 \rangle^2 + Npq \\ \end{align} Die Varianz beim Random Walk ist also

\begin{equation} \langle \Delta n_1 \rangle ^2 = \langle n_1^2 \rangle - \langle n_1 \rangle^2 = Npq \end{equation}

Man nennt die Wurzel der Varianz (engl. mean-square) der Standardabweichung $\sigma$ (engl. root-mean-square). Im Gegensatz zur Varianz $\langle \Delta n_1 \rangle ^2$ die mit $n_1$ quadratisch wächst, nimmt $\sigma = \sqrt{\langle \Delta n_1 \rangle ^2}$ linear zu und ist deshalb ein gutes Maß für die Breite einer Verteilung.

Die relative Breite einer Verteilung ist die durch den Mittelwert genormte Standardabeichung, welche sich für das Random Walk Problem zu

\begin{equation} \frac{\sqrt{\langle \Delta n_1 \rangle ^2}}{\langle n_1 \rangle} = \frac{\sqrt{Npq}}{ Np }=\sqrt{\frac{q}{p}}\frac{1}{\sqrt{N}} \end{equation} Für die symmetrische Verteilung $p=q=1/2$ gilt somit \begin{equation} \frac{\sqrt{\langle \Delta n_1 \rangle ^2}}{\langle n_1 \rangle} =\frac{1}{\sqrt{N}} \end{equation}

Für die Varianz von $m$ erhalten wir durch Einsetzen vom $m=2n_1-N$ \begin{equation} \Delta m = m - \langle m \rangle = 2n_1-N - (2\langle n_1 \rangle-N)=2(n_1-\langle n_1 \rangle)=2\langle \Delta n_1 \rangle \end{equation} Quadrieren der Gleichung ergibt \begin{equation} (\Delta m)^2 =4\langle \Delta n_1 \rangle^2=4Npq \end{equation} und damit für die symmetrische Verteilung \begin{equation} (\Delta m)^2 =N \end{equation}