Wahrscheinlichkeitswelle

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Wir können jede Welle mithilfe einer komplexen Funktion $\psi(x,t)$ darstellen. Wir nennen diese Funktion Warscheinlichkeitswelle und definieren das Quadrat dieser Funktion als die Wahrscheinlichkeitsdichte

$W(x,t)dx = |\psi(x,t)|^2 dx$


Die Wahrscheinlichkeitsdichte gibt an wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen zur Zeit t im Ortsintervall $x +dx$ zu finden.

Für den Doppelspalt gilt, wenn zwei Wege für das Photon möglich sind gibt es ein Interferenzmuster, da die Wellen $\phi$ erst summiert und dann quadriert werden. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann nicht einfach die Summe der Wahrscheinlichkeiten $|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2$, sondern

$W= |\phi_1 + \phi_2|^2.$

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit integriert über den ganzen Raum muss eins ergeben, da sich das Teilchen irgenwo im Raum befinden muss. Normierung

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |\psi(\mathbf{r},t)^* \cdot \psi(\mathbf{r},t)| d\mathbf{r}=1$