Wellenausbreitung

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Die Wellengleichung für elektrische und magnetische Felder im Vakuum ohne Herleitung

\(\hspace{2cm} \Delta \mathbf{E}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \hspace{2cm} \Delta \mathbf{B}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}\)

wird von der Exponentialfunktion gelöst welche physikalisch eine ebene harmonische Welle beschreibt.

\(\hspace{2cm} \mathbf{E}_y= \mathbf{E}_0 \cdot e^{i(\omega t-kx)} = \mathbf{E}_0 \cdot cos(\omega t-kx) \)
\(\hspace{2cm} \mathbf{B}_z= \mathbf{B}_0 \cdot e^{i(\omega t-kx)} = \mathbf{B}_0 \cdot cos(\omega t-kx) \)

$\hspace{1cm}$ elektromagnetische Welle

Aus der Linearität der Wellengleichung folgt, dass mit beliebigen Lösungen $\mathbf{E}_1$ und $\mathbf{E}_2$ auch jede Linearkombination $\mathbf{E}=c_1\mathbf{E}_1+c_2\mathbf{E}_2$ die Wellengleichung löst.
Es gilt der Zusammenhang $ \mathbf{B}=\frac{1}{\omega} (\mathbf{k} \times \mathbf{E})$ und damit $ \mid \mathbf{B} \mid= \frac{1}{c} \mid \mathbf{E} \mid$

Energiedichte des Elektromagnetischen Feldes

\(\hspace{2cm} w_{em}= \frac{1}{2} \varepsilon_0(E^2+c^2B^2)=\varepsilon_0E^2 \)
Diese Energiedichte wird von der elektromagnetischen Welle mit Lichtgeschwindigkeit $c$ in Ausbreitungsrichtung transportiert.
Man nennt die Energie die pro Zeit durch die Flächeneinheit normal zum Wellenvektor $\mathbf{k}$ transportiert wird die Intensität
oder Energiestromdichte

\(\hspace{2cm} I = c \cdot \varepsilon_0 \cdot E^2 \)

Für eine Periodische Welle \(\mathbf{E}= \mathbf{E}_0 \cdot cos( \omega t-\mathbf{kr}) \) gilt $I(t)=c \cdot \varepsilon_0 \cdot E_0^2 \cdot cos^2( \omega t -\mathbf{kr})$
Weil das zeitliche Mittel pro Schwingungsperiode von $\langle cos^2( \omega t) \rangle=\frac{1}{2}$ ist gilt

\(\hspace{2cm} \langle I(t) \rangle = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \varepsilon_0 E^2\)

Die Richtung des Energieflusses wird durch den Pointing-Vektor gegeben

\(\hspace{2cm} \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}=c^2 \cdot \varepsilon_0 (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \)

Der Bertrag von $ \mathbf{S} $ entspricht der Intensität

\(\hspace{2cm} \mid \mathbf{S} \mid= c^2 \cdot \varepsilon_0 \cdot \mid \mathbf{E} \mid \cdot \mid \mathbf{B} \mid = c \cdot \varepsilon_0 \cdot E^2=I\)