Binomialverteilung

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Binomialkoeffizient

Die Definition des Binomialkoeffizienten lautet \[\begin{align} \binom nk &= \frac n1 \cdot \frac{n-1}2 \dotsm \frac{n-(k-1)}k\\ &= \frac{n\cdot(n-1) \dotsm (n-k+1)}{k!}\\ &= \prod_{j=1}^k \frac{n + 1 - j}j, \end{align}\] Die Zahlenwerte können durch Das Pascalsche Dreieck bestimmt werden.

        \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)        
      \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)      
    \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)    
  \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)  
\(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)   \(\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\)


$\hspace{2.25cm}$Pascalsches Dreieck (bis zur 8. Zeile)

Der Binomialkoeffizient hat folgende Eigenschaften die man auch aus dem Pascalschen Dreieck ablesen kann:

  • für $k>n$ ist $\binom{n}{k}=0$
  • \(\binom n0 = \binom nn = 1\)
  • \(\binom n1 = \binom n{n-1} = n\)
  • \(k \cdot \binom nk = n \cdot \binom{n-1}{k-1}\)
  • \(\binom{n+1}{k+1} = \binom nk + \binom n{k+1}\) (nach dieser Regel lässt sich das Pascalsche Dreieck einfach konstruieren)
  • \(\binom nk = \binom n{n-k}\) (symmetrisch)
Beweis

\[\begin{align} \binom n{n-k} &= \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!}\\ &= \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\\ &= \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\\ &= \binom nk \end{align}\]

Beispiel

\[\binom 5 3 = \binom 5 {5-3} = \binom 5 2\] \[\binom 5 3 = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2\cdot 3) \cdot (1\cdot 2)} = \frac{4\cdot 5}{1\cdot 2} = 10\] \[\binom 5 2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2) \cdot (1\cdot 2\cdot 3)} = \frac{4\cdot 5}{1\cdot 2} = 10\]

Binomischer Lehrsatz

Definition \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)\]

Beispiel \[ (x+y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}y + \binom{3}{2}\, xy^{2} + \binom{3}{3}\, y^{3}=x^3+3\,x^2y+3\,xy^2+y^3\]


\[ (x-y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}(-y) + \binom{3}{2}\, x(-y)^{2} + \binom{3}{3}\,(-y)^{3}=x^3-3\,x^2y+3\,xy^2-y^3\]

Binomialverteilung

\[ B(k \mid p,n) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k}\] für \(k=0,1,\dotsc, n\)