Bravaisgitter

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Das Kristallgitter, auch Punktgitter genannt, ist eine dreidimensionale Anordnung von Punkten. Untereinheit des Gitters ist die sogenannte Elementarzelle. Sie enthält alle Informationen, die zum Beschreiben des Kristalls notwendig sind. Diese Elementarzellen werden durch Translationssymmetrie zu einem dreidimensionalen Netz erweitert. Im dreidimensionalen Raum beschreiben die 14 Bravais-Gitter alle Möglichkeiten der Translationssymmetrie.


Ein Punktgitter $B$ besteht aus der Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen der Basisvektoren. \[ B := \left \{ \left. \sum_{n_1,n_2,n_3} n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} +n_3 \vec{c} \; \right| \, n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\right\}\] Man erreicht so jeden Punkt mit den Koordinaten $\sum{n_i\mathbf{a}_i}$ für $i=1,2,3$ auf dem Gitter mit den Koeffizienten \begin{align} 0 \leq n_1 \leq N_1 \\ 0 \leq n_2 \leq N_2 \\ 0 \leq n_3 \leq N_3 \\ \end{align} Man nennt die Vektoren $\mathbf{a}_i$ primitive Vektoren (auch Translations- Basis- oder Grundvektoren). Man sagt, sie spannen den Kristall auf.


Contents

Primitive Einheitszelle

Die Basisvektoren bilden außerdem die Kanten eines Parallelepipeds, der sogenannten primitiven Einheitszelle (Einheitszelle oder auch Elementar bzw. Strukturzelle genannt), welche das Volumen $V=|\mathbf{a} \times \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}|$ besitzt. Die primitive Einheitszelle besitzt nur einen Gitterpunkt, weil ihre vier Ecken gleichzeitig zu drei andren Elementarzellen gehören $\frac{1}{4} \cdot 4=1$. Die primitive Einheitszelle kann auf beliebig viele verschiedene Weisen gebildet werden. Die folgende Abbildung zeigt 4 Möglichkeiten.

Elementarzelle.png

Außer den Bravaisgittern fällt auch die Wigner-Seitz-Zelle unter die primitiven Einheitszellen.

Nicht Primitive Einheitszelle

Nichtprimitive Zellen enthalten mehr als einen Gitterpunkt. Das in der folgenden Abbildung gezeigte Gitter kann sowohl als kubisch Flächenzentriert als auch durch eine primitive rhomboedrische Elementarzelle repräsentiert werden.

Kubischflächenzentriert.png

Die Flächenzentrierte Zelle enthält mehr als einen Gitterpunkt, denn es besitzt $8$ Ecken die $8$ Elementarzellen gemeinsam angehören, aber zusätzlich noch $6$ Flächen die jeweils zwei Zellen anghören ($6 \cdot \frac{1}{2}=3)$.


1848 zeigte A. Bravais, dass alle Raumgitter in 14 Typen unterteilt werden können, die heute unter dem namen Bavaisgitter bekannt sind.


Bravaisgittertypen

mit $7$ Kristallsystemen (auch Kristallklassen)

Ortogonale Achsensysteme

Kubisches Kristallsystem

  • höchste Symmetrie
  • drei gleich lange Achsen im 90°-Winkel
kubisch-primitiv (sc) kubisch-raumzentriert (bcc) kubisch-flächenzentriert (fcc)
Cubic.svg
Cubic-body-centered.svg
Cubic-face-centered.svg

Tetragonales Kristallsystem

  • zwei gleich lange Achsen, drei 90°-Winkel
tetragonal-primitiv tetragonal-raumzentriert
Tetragonal.svg
Tetragonal-body-centered.svg

Rhombisches Kristallsystem

  • auch orthorhombisches Kristallsystem
  • drei 90°-Winkel, keine gleich langen Achsen
rhombisch-primitiv rhombisch-basiszentriert rhombisch-raumzentriert rhombisch-flächenzentriert
Orthorhombic.svg
Orthorhombic-base-centered.svg
Orthorhombic-body-centered.svg
Orthorhombic-face-centered.svg


Schiefwinklige Achsensysteme

Hexagonales Kristallsystem

  • zwei gleich lange Achsen in einer Ebene im 120°-Winkel, die dritte Achse senkrecht dazu
hexagonal-primitiv
Hexagonal lattice.svg

Trigonales Kristallsystem

  • Trigonale Kristallstrukturen können ebenfalls im hexagonalen Gitter beschrieben werden:
  • hexagonale Aufstellung: a = b ≠ c , α = β = 90° , γ = 120° (siehe Abbildung oben)
  • Als Spezialfall kann eine rhomboedrische Zentrierung auftreten:
  • drei gleich lange Achsen, drei gleiche Winkel ungleich 90° (siehe Abbildung unten)
  • nicht mit dem orthorhombischen Kristallsystem zu verwechseln
rhomboedrisch
Rhombohedral.svg

Monoklines Kristallsystem

  • zwei 90°-Winkel, keine gleich langen Achsen
monoklin-primitiv monoklin-basiszentriert
Monoclinic.svg
Monoclinic-base-centered.svg

Triklines Kristallsystem

  • geringste Symmetrie aller Gitter
  • keine gleichen Winkel, keine gleich langen Achsen
triklin
Triclinic.svg

Weiterführende Literatur:

  • Walter J. Moore - Grundlagen der Physikalischen Chemie