Einstein-deHaas Effekt

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Wir haben das gyromagnetische Verhältnis $\gamma_e$ als Proportionalitätsfaktor von $\mathbf{\mu}_s$ und $\mathbf{s}$ eingeführt. Einstein schlug ein Experiment vor mit dem man das gyromagnetische Verhältnis

$\gamma=\frac{\mathbf{\mu}}{\mathbf{s}}$

bestimmen könnte. Dieses Experiment wurde 1915 von deHaas durchgeführt.
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An einem Torsionsfaden ist ein Eisenzylinder mit Masse $m$ und Radius $R$ angehängt. Den Eisenzylinder umgibt eine Spule welche ein Magnetfeld in z-Richtung erzeugt $\mathbf{B}=(0,0,B_z)$. Das Magnetfeld bringt die Magnetisierung $M=N \cdot \mu_s$ in Sättigung. Die $\mu_s$-Vektoren der $N$ Elektronen zeigen in Sättigung in die selbe Richtung, wie der Vektor des Magnefeldes μ$_s || \mathbf{B}$. Am Torsionsdraht ist ein Spiegel angebracht der einen Laserstrahl refektiert, so kann die Drehung $\varphi$ des Torrsionsdrahtes gemessen werden. Für die Energie die zum Verdrehen des Drahtes um den Winkel $\varphi$ nötig ist gilt

$E_{\varphi}=\frac{1}{2}D_r \varphi^2$

Wenn man das Magnetfeld bei voller Sättigung umkehrt. Drehen sich auch alle magnetischen Dipole um, sodass wieder μ$_s || \mathbf{B}$ gilt. Durch dieses Umklappen wird ein Drehmoment auf den Eisenzylinder ausgeübt. Der Zylinder verdreht sich und den Winkel $\varphi$. Insgesamt $N$ Elektronen tragen zur Gesamtmagnetisierung bei die durch die Änderung der Magnetisierung in z-Richtung $\Delta M=2M=2N \cdot \mu_{sz}$ entsteht. Diese Magnetisierungsänderung kann dierekt gemessen werden.

Für den Verursachten Drehimpuls der Proportional zu $\Delta M$ ist, gilt $|\Delta \mathbf{S}|=\sum \mu_{sz}=2N\cdot s_z=N \cdot \hbar=-L_z$

Die Rotationsenergie ist gegeben als $E_{rot}=\frac{1}{2}I \omega^2$. Was sich mit den Beziehungen $-L_z=2N \cdot s_z=-I \omega$ und $I=\frac{1}{2}mR^2$ umformen lässt zu.

$E_{rot}=\frac{1}{2}\frac{4N^2 \cdot s_z^2}{I}=\frac{4N^2 \cdot s_z^2}{mR^2}$

was durch gleichsetzen mit $E_{\varphi}$

$s_z=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 2}\sqrt{mD_r} \frac{\varphi R}{N}$ bzw. $|\Delta \mathbf{S}|=2N s_z=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{mD_r} {\varphi R}$

$|\Delta S|$ ist also durch Winkelmessung zugänglich, sodass wir schließlich das gyromagnetsiche Verhältnis bestimmen können.

$\frac{ |\Delta M|}{|\Delta \mathbf{S}|}=\frac{|\mu_{sz}|}{|\mathbf{s}|}=\gamma_s$

Das Einstein-deHaas-Experiment ergab

$\gamma_s \approx \frac{e}{m_e}$

Überraschenderweise ist also das gyromagnetische Verhältnis des Spins $\gamma_s$ doppoelt so groß wie jenes des Bahndrehimpules $\gamma_l$

$\gamma_s \approx 2 \gamma_l =2\frac{|\mu_l|}{|\mathbf{l}|}=2\frac{e}{2 m_e}$


Man schreibt in Analogie zum Bahndrehimpuls $\mu_l=-(\mu_B/\hbar) \cdot \mathbf{l}$

$\mu_s =-g_s (\mu_B/\hbar) \cdot \mathbf{s} \Rightarrow |\mu_s| =2(\mu_B/\hbar) \cdot \sqrt{3/4} \hbar= \mu_B \cdot \sqrt{3} $

der Faktor $g_s \approx 2$ heißt Landé-Faktor.