Elektronenspin

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Das Stern-Gerlach Experiment kann durch den Elektronenspin, dem magnetischen Moment des Elektrons $\mathbf{p}_m$ erklärt werden.

In einem Magnetfeld $\mathbf{B}$ wirkt auf ein magnetisches Moment $\mathbf{p}_m$ die Kraft

$\mathbf{F}=-\mathbf{p}_m \cdot \nabla \mathbf{B}$

Weil im Gundzustand (s-Zustand) $l=0$ ist kann kein Bahndrehimpuls vorhanden sein. Deshalb, so schlossen Stern und Gerlach, müssen die Atome noch ein Zusätzliches magnetisches Moment besitzen, welches die Atome ablenkt.

Goudsmit und Ulenbeck haben dann 1925 die Hypothese aufgestellt, dass auch Elektronen einen Eigendrehimpuls, den sogenannten Spin haben. Deshalb besitzen die Elektronen auch das magnetische Moment $\mathbf{\mu}_s$ welches die Ablenkung im Magnetfeld bewirkt. Klassisch könnte dabei die $l_z$-komponente bei konstantem Betrag $|\mathbf{l}|$ beliebige Werte annehmen. Es wurden experimentell aber zwei Intensitätsmaxima gefunden, was auf die Quatisierung des Drehimpulses schließen lässt. Wenn für den Spin $\mathbf{s}$ die gleichen Regeln gelten, wie für den Bahndrehimpuls $\mathbf{L}$, nimmt $\mathbf{s}$ diskrete Werte an.

$|\mathbf{s}|=\sqrt{s(s+1)}\hbar$


Die Projektion auf die z-Achse ist dann $s_z=s \cdot \hbar$. Um die den Spin in der Notation klar vom Bahndrehimpuls zu unterscheiden definieren wir das magnetische Spinmoment

$\mathbf{\mu}_s=\gamma_s \cdot \mathbf{s}$


Da sich experimentell nur zwei Intensitätsmaxima an der Glasfläche erkennen ließen sind auch die einzig möglichen Spinquantenzahlen $s= \frac{1}{2}$ und

$|\mathbf{s}|=\frac{\sqrt{3}}{2} \hbar \hspace{2cm}$und $\hspace{2cm}s_z=\pm \frac{1}{2} \hbar$


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