Radioaktiver Zerfall

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search

Contents

Zerfallsgesetze

Der radioaktive Zerfall ist kein deterministischer Prozess, d.h. es kann nicht vorhergesagt werden welches Teilchen aus einem Ensemble aus $N$ Teilchen zerfällt. Es ist aber möglich die Wahrscheinlichkeit dafür anzugeben, dass ein Teilchen das Ensemble verlässt. Betrachtet man ein Ensemble aus $N$ gleichen Teilchen, so ist

  • die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen das Ensemble verlässt $\lambda=dP/dt$.
  • Für die Gesamtzahl der Zerfälle gilt dann

$\frac{dN}{dt}=-\lambda \cdot N= - A(t)$

wobei $A(t)$ die Aktivität und $\lambda$ die Zerfallskonstante der Teilchenprobe ist. Die Aktivität wird in Becquerel ([A]=1Bq) gemessen, man spricht von einer radioaktiven Probe mit $A=n Bq$, also $n$ Zerfällen pro Sekunde. Die Lösung dieser Differentialgleichung mit Anfangsbedingung $N(t=0)=N_0$ lautet.

$N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

$A(t)=\lambda \cdot N(t)= A_0 \cdot e^{-\lambda t}$

  • Die mittlere Lebensdauer ist die Zeit nach der die Teilchenzahl auf $1/e$ des ursprünglichen Wertes gesunken ist.

$N(\tau)=N_0/e=N_0 \cdot e^{-\lambda \tau} \Rightarrow -1 = -\lambda \tau \Rightarrow $

$\tau= \frac{1}{\lambda}$
  • Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, nach welcher die Teilchenzahl um die Hälfte gesunken ist.

$N(t_{1/2})=N_0/2=N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}} \Rightarrow $

$t_{1/2}=\frac{ln(2)}{\lambda} $

Beispiel:
Uran ${}_{92}^{238}$U hat eine Halbwertszeit $t_{1/2}=4,5 \cdot 10^9 a$. 1mg Uran enhält $N=\frac{6 \cdot 10^{23} [Teilchen/Mol]}{238 \cdot 10^3 [mg/Mol]}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall ist durch die Zerfallskonstante gegeben und kann bei bekannter Halbwertszeit berechnet werden. $\lambda = \frac{ln(2)}{t_{1/2}}=\frac{ln(2)}{4,5 \cdot 10^9 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600}$

Der Erwartungswert für die Anzahl der zerfallenden Atome ist durch $\lambda \cdot N$ gegeben.

$dN/dt= \frac{ln(2)}{4,5 \cdot 10^9 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600}\cdot 2,5 \cdot 10^{18}$

Es kann nicht vorhergesagt werden welche der $N$ Atome in diesem Zeitschritt zerfallen.

$\alpha$-Zerfall

Alphastrahlung besteht aus zweifach positiv geladenen He-Kernen (${}_2^4$He).


Beim Zerfall ensteht aus dem Nuklid ${}_Z^AX$ der Kern ${}_{Z-2}^{A-4}Y$

${}_Z^AX \overset{\alpha}{\rightarrow} {}_{Z-2}^{A-4}Y$

Quantitative Erklärung des $\alpha$-Zerfalls von Gamow 1928

Die Energieniveaus des Kerns sind gemäß dem Pauliprinzip mit Protonen und Neutronen bis zur Energie $E_{max}$ besetzt. Der Kern bildet mit der Wahrscheinlichkeit $W_1$ ein $\alpha$-Teilchen.

500px

Wenn wir annehmen, dass die Kernkräfte im Bereich des Kernradius $r_0\cdot A^{1/3}$ wirken, liegt das Maximum des Potentials etwa beim Abstand $r_1=r_0 (A_1^{1/3}+A_2^{1/3})$ ($A_1$ Massenzahl des Alphateilchens; $A_2$ Massenzahl des Tochterkerns. Wir erhalten dann für die Höhe des Potentials

$E_{pot}=\frac{Z_1Z_2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_1}=\frac{Z_1Z_2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0 (A_1^{1/3}+A_2^{1/3})}$

Um die Emission eines $\alpha$-Teilchens zu berechnen, benötigen wir die Tunnelwahrscheinlichkeit des Teilchens durch die Potentialbarriere $E_{pot}-E$. Die Potentielle Energie $E$ wird bei der Emission in kinetische Energie des $\alpha$-Teilchens und des Tochterkerns umgewandelt. Die Energie wird dabei entsprechend der Massenverhältnisse aufgeteilt.

$E_{kin}(\alpha)=\frac{M}{M+m} \cdot E; \hspace{2cm} E_{kin}=({}_{Z-2}^{A-4}Y)=\frac{m}{M+m} \cdot E$

Die gesamte kinetische Energie ergibt sich aus der Massendifferenz von Mutterkern, Tochterkern und der Masse des Alpha-Teilchens

$E_{KIN}=\left( M\left({}_Z^AX\right) - M\left({}_{Z-2}^{A-4}Y\right)-m\left(\alpha\right)\right) \cdot c^2 $

Betrachten wir nun die Tunnelwahrscheinlichkeit des Teilchens durch das Potential. Für $\lambda << d$ gilt für die Tunnelwahrscheinlichkeit $T$ die Näherung

$T=T_0 \cdot e^{-2/\hbar \cdot \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m(E_{pot}(r) - E)}dr} $

Der Exponent $G$ heißt Gamow-Faktor

$G=\frac{-2}{\hbar} \cdot \int\limits_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m(\frac{Z_1Z_2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}- E)}dr $

Dieses Integral lässt sich analytisch lösen und wir erhalten



$G=\frac{-2}{\hbar} \cdot \sqrt{2m(\frac{Z_1Z_2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 E})} \cdot arccos \left[\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}-\sqrt{\frac{r_1}{r_2} \left( q- \frac{r_1}{r_2} \right) }\right] \propto (Z-2)/\sqrt{E}$

Der Gamow-Faktor ist also proportional zur Kernladungzahl der Tochterkerns, da $Z_2=2$ ist, gilt daher $Z_1=(Z-2)$. Die Wahrscheinlichkeit $W$ (entspricht $\lambda$) dass ein $\alpha$-Teilchen emittiert wird ergibt sich als Produkt aus drei Faktoren $W_0$ (Wahrscheinlichkeit für Bildung von $\alpha$-Teilchen mit Energie $E$), $W_1$ (gibt die Rate an mit der das Teilchen gegen das Potential stößt), $T$ (Tunnenwahrscheinlichkeit pro Stoß).

$W=W_0 \cdot W_1 \cdot T$

$\beta$-Zerfall

Beta-Strahlung besteht aus Elektronen bzw. Positronen die beim Zerfall emittiert werden.

Beim $\beta$-Zerfall entsteht aus dem Kern ${}_Z^AX$ der Kern ${}_{Z\pm1}^{A}Y$, dabei wird ein Elektron/Positron $e^{\pm}$ emittiert und ein Neutron in ein Proton umgewandelt. Die Massenzahl bleibt erhalten.

${}_Z^AX \overset{\beta^{\pm}}{\rightarrow} {}_{Z\pm1}^{A}Y$

  • Anfangs wurde versucht den Beta-Zerfall mithilfe eines Zweikörper-Zerfalls zu erklären, was aber mit den experimentellen Befunden nicht vereinbar war, wenn Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung nicht verletzt werden sollen. Es wurde beispielsweise beobachtet, dass Elektron und Tochterkern nach dem Zerfall in den selben Halbraum emittiert wurden. Wolfgang Pauli postulierte daher 1930 die Beteiligung eines neutralen Teilchens mit Spin $\hbar/2$, dass später Neutrino genannt wurde (Neutrino-Hypothese). Zu jedem Teilchen gibt es ein Antiteilchen. Man schreibt für das Neutrino $\nu$ und für das Antineutrino $\bar{\nu}$. Experimentell nachgewiesen wurden diese erst 1955 von Reines und Cowan.
  • Bezeichnet X das Mutter- und Y das Tochternuklid, so gilt für den β-Zerfall allgemein

\[{}^{A}_{Z} \mathrm {X} \to {}^{A}_{Z+1} \mathrm {Y} + \mathrm{e}^{-} \mathrm + \overline{\nu}_e\]

  • Mit den gleichen Bezeichnungen wie oben lässt sich der allgemeine β+-Zerfall beschreiben durch

\[{}^{A}_{Z} \mathrm {X} \to {}^{A}_{Z-1} \mathrm {Y} + \mathrm{e}^{+} + \nu_e\]

  • Bei allen Reaktionen zwischen Elementarteilchen muss die Anzahl der Baryonen (schwere Teilchen z.B. $n,p$) und Leptonen (leichte Teilchen wie $e,e^+,\nu,\bar{\nu}$), sowie die Ladung, erhalten bleiben. Man ordnet den Leptonen zahlen zu $\nu: L=+1;\bar{\nu}: L=-1$. Man erkennt am Beispiel des Beta-Zerfalls, dass die Baryonen zahl erhalten bleibt und die Leptonenzahl $L=0$ ist.
  • Das Elektron wird erst durch die Umwandlung eines Neutrons in ein Proton erzeugt
$n \rightarrow p + e + \bar{\nu}$
es verlässt den Kern zusammen mit dem Antineutrino unmittelbar nach der Entstehung (Reaktion läuft auch spontan ohne Kern ab $t_{1/2}=900s$).
Analog gilt
$p \rightarrow n + e^+ + {\nu}$
(Reaktion läuft ohne Kern nicht spontan ab)
500px
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern vom Anfangszustand $|a >$ in den Endzustand $|e>$ übergeht und dabei ein Elektron der Energie $E_e$ sowie ein Neutrino der Energie $E_{\nu}$ aussendet ist $W(E)\cdot dE$. Die Anzahl der emittierten Elektronen ist proportional zur Wahrscheinlichkeit $W(E_e)\cdot dE$ der Teilchenemission. Die Zahl der gemessenen Teilchen bei bestimmter Energie, wird im sogenannten Fermi-Kurie-Diagramm dargestellt.
350px
  • Elektroneneinfang
Da die Aufenhaltswahrscheinlichkeit des 1S-Orbitals (K-Schale) ein Maximum bei $r=0$ hat, kann es vorkommen, dass das Elektron von einem Proton eingefangen wird (K-Einfang). Dieses wandelt sich dadurch in ein Neutron um

\[e^- + p \rightarrow n + \nu_e\]

Dadurch entsteht ein Loch in der K-Schale, welches durch ein Elektron aus einer höheren Schale unter Aussendung von Röntenstrahlung aufgefüllt wird.
  • Der Beta-Zerfall beruht auf der schwachen Welchselwirkung

$\gamma$-Zerfall


${}_Z^AX^* {\rightarrow} {}_{Z}^{A}X$

$\gamma$-Strahlung entsteht, wenn ein Atomkern von einem energetisch höheren Zustand $E_k$ in einen tieferen Zustand $E_i$ übergeht. Bei diesem Übergang wird die Energie $h \cdot \nu=E_k - E_i$ in Form von $\gamma$-Strahlung frei. Der Vorgang ist analog zu Energieübergängen in der Elektronenhülle ($1-10eV$) aber mit höheren Energien ($10^4-10^7eV$).

  • Der Kern muss bei Gammaemission kein Photon emittieren, er kann durch Konversion ein Elektron $e$ in die Elektronenhülle heben.
${}_Z^AX^* {\rightarrow} {}_{Z}^{A}X^+ +e$

  • Kerne mit langlebigen angeregten Zuständen werden Kernisomere genannt. Sie haben gleiche Nukleonenzahl unterscheiden sich aber in den Energieniveaus. Die Lebensdauer der Kerne variiert stark z.B. ${}_{80}^{35}Br^*$ hat Energieniveaus mit einer Lebensdauer von $\sim 10^{-9}s$ über $\sim 15 min$ bis zu $4,37h$, je nach Anregungsniveau.