Terminologie, Kerneigenschaften, Bindungsenergie, Kernniveaus, Kernspin, Kernmodelle

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Antoine Henri Becquerel, Pierre Curie und Marie Curie erhielten für ihre Versuche zur Radioaktivität, die man als den historischen Beginn der modernen Kernforschung bezeichnen könnte, 1903 den Nobelpreis für Physik.

Radioaktivität ist meist mit der Umwandlung eines chemischen Elements in ein anderes verbunden. Dies wurde von Ernest Rutherford entdeckt, wofür er 1908 den Nobelpreis für Chemie erhielt.

1919 gelang Rutherford durch Beschuss von Stickstoff mit Alphastrahlung die erste künstliche Elementumwandlung: es entstand Sauerstoff. Es handelte sich um die Kernreaktion 14N(α,p)17O.

Das Verständnis der Bindungsenergie der Atomkerne, zuerst halbempirisch 1935 in der Bethe-Weizsäcker-Formel ausgedrückt, bedeutete einen entscheidenden Fortschritt. Grundlage für die Formel war das Tröpfchenmodell des Atomkerns (Bohr 1936). Mit Hilfe der Bethe-Weizsäcker-Formel konnte gezeigt werden, dass sowohl bei bestimmten Kernfusionen als auch bei bestimmten Kernspaltungen Energie freigesetzt wird. Das Tröpfchenmodell vermag z.B. die Kernspaltung gut zu erklären.

Otto Hahn und Lise Meitner entdeckten 1938, dass durch Bestrahlung mit Neutronen Urankerne gespalten werden (induzierte Kernspaltung).

Eine quantenmechanische Beschreibung des Kernaufbaus, die insbesondere die mit Ordnungs- und Massenzahl systematisch wechselnde Stabilität der Kerne erklären kann, wurde erst später mit dem Schalenmodell (Wigner, Goeppert-Mayer und Jensen 1949) gefunden.

Contents

Teminologie


Name Erklärung Beispiele
Nukleonen Protonen und Neutronen
Nuklid Kern \({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\) mit A Nukleonen: $Z$ Protonen
und $N=(A-Z)$ Neutronen
\({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}\), \({}^{7}_{3}\mathrm{Li}\)
Isotope Kerne mit gleicher Protonenzahl $Z$,
aber verschiedener Neutronenzahl $N$
\({}^{12}_{6}\mathrm{C}\), \({}^{14}_{6}\mathrm{C}\)
Isobare Kerne mit gleicher Massenzahl $A$,
aber unterschidlicher Protonenzahl $Z$
\({}^{14}_{6}\mathrm{C}\), \({}^{14}_{7}\mathrm{C}\)
Isotone Kerne mit gleicher Neutronenzahl $N$, aber verschiedeneren Werten von $Z$ \({}^{16}_{8}\mathrm{O}\)
Spiegelkerne Kerne mit vertauschten Werten von $Z$ und $N$. $Z_1=N_2$; $N_1=Z_2$ \({}^{3}_{1}\mathrm{H}\), \({}^{3}_{2}\mathrm{He}\)
Isomere Kerne Kerne mit gleichen $Z$ und $N$ in verschiedenen Energiezuständen \({}^{12}_{6}\mathrm{C(E_1)}\) ,\({}^{12}_{6}\mathrm{C(E_2)}\)



Kerneigenschaften

  • Die Ladung der Atomkerne konnte breits durch die Rutherford'schen Streuversuche durch Messung des differentiellen Wirkungsquerschnittes

$\left( \frac{d \sigma}{d \Omega} \right)=\left( \frac{Z_1 \cdot Z_2 \cdot e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot 3 E_0} \right)^2 \frac{1}{sin^4(\vartheta /2)}$

abgeschätzt werden ($Z_1e$ Kernladung; $Z_2e$ Teilchenladung; $E_0$ Teilchenenergie). Eine wesentlich genauere Methode bedient sich der Messung von Frequenzen. Versuche dieser Art wurden von Moseley in Rutherfords Laboratorium ab 1913 durchgeführt. Die Ladung kann nach der Frequenzmessung über das Moseley'sche Gesetz

$\bar{\nu}=\frac{1}{\lambda}=Ry \cdot (Z-S)^2 \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right)$

bestimmt werden ($S \dots$ Abschirmungsfaktor).
  • Auch die Kerngröße kann durch Rutherfords Streuexperimente bestimmt werden. Auswertungen von Streumessungen die 1920 das erste mal von James Chadwick, einer von Rutherfords Schülern durchgeführt und ergaben:

$R_K \approx r_0 \cdot A^{1/3}$

$A \dots$ ist die atomare Massenzahl und der Konstanten für leichte Kerne $r_0 = (1,3 \pm 0,1) \cdot 10^{-15}m$
Typische Kernradien liegen ungefähr zwischen $1-6$fm mit fm$=10^{-15}$ Femtometer.
  • Die Masse der Atomkerne kann mithilfe von Massenspektrometern oder durch Messung der Absorptionsfrequenz von Rotationsübergängen zwischen Rotationsniveaus bestimmt werden. Messungen ergaben eine Massendichte

$\rho_m = \frac{M}{V}=\frac{A \cdot u}{4/3 \cdot \pi \cdot R_K^3} \approx \frac{1,66 \cdot 10^{-27}}{4/3 \cdot \pi \cdot r_0^3} \approx 10^{17}kg/m^3$

wobei $R_K \approx r_0 A^{1/3}$ eingesetzt wurde. AME bzw. $u$ ist die atomare Masseneinheit und als $1/12$ der Masse des ${}^{12}_{6}C$ Atoms definiert. Die Massendichte der Kerne ist also unabhänging von $A$ und mit $\rho_m \approx 10^{17}kg/m^3$ unvorstellbar groß. Ein $cm^3$ Kernmaterie wiegt also etwa $10^8$ Tonnen!

Bindungsenergie

Trennt man einen Atomkern mit Masse $M_K$ in seine Bestandteile auf, so ist die Masse der Summe über Protonen und Neutronen größer als $M_K$. Man nennt die Engergie, die gemäß $E_B=mc^2$ durch die Bindung verloren geht Bindungsenergie und spricht auch vom Massendefekt. Man erhält dann für die Bindungsenrgie pro Nukleon $E_b=E_B/A$. Für die Masse des Atomkerns gilt

$M_K=\sum m_p + \sum m_n - \Delta M$

$E_B$ ist normalerweise positiv definiert, sodass die Bindungsenergie $-E_B$ ist. Das Verhältnis $\Delta M / A$ heißt Packungsdichte.

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Kernspin

Analog zur Erklärung des magnetischen Momentes der Elektronenhülle nimmt man an, dass das beim Kern entdeckte magnetische Moment mit einem Drehimpuls verknüpft ist. Und definiert daher den quantisierten Drehimpuls

$|\mathbf{I}|=\sqrt{I \cdot (I+1)}\hbar$


der Kernspin genannt wird, mit der Kernspinquantenzahl $I$. Der Bahndrehimpuls setzt sich zusammen aus der Vektorsumme der Neutronen- und Protonenspins und dem Bahndrehimpuls der Nukleonen um das Zentrum des Kerns.

$\mathbf{I}=\sum(\mathbf{I}_p + \mathbf{I}_n) + \sum \mathbf{L} = \sum\limits_i \mathbf{I}_i + \mathbf{L}_i$


Die meisten Kerne haben im Grundzustand $\sum \mathbf{L}_i=0$, aber es gibt Ausnahmen (z.B. ${}^{7}_{3}Li$ mit $|\sum(\mathbf{I}_p + \mathbf{I}_n)|=\frac{1}{2}\hbar$ und $|\sum \mathbf{L}|=\hbar$).

Bosonen sind Teilchen mit ganzahligem Spin $0, \hbar, 2\hbar$ und gerader Massenzahl $A$ (gg- und uu- Kerne).
Fermionen sind Teilchen mit halbzahligem Spin $\frac{1}{2}\hbar, \frac{3}{2}\hbar$ und ungerader Massenzahl $A$ (ug- und gu- Kerne).

Magnetisches Kernmoment

Ist in Analogie zum Spin definiert als

$\vec{\mu}_I=g_I \cdot \frac{\mu_K}{\hbar} \cdot \mathbf{I} $


mit dem Kern-Landé-Faktor $g_I$ und dem Kern-magneton

${\mu}_K= \frac{e \cdot \hbar}{2 m_p}=5,050 \cdot 10^{-27} J/T $

Das Kernmagneton ist wegen $m_e/m_p \approx 1/1836$ wegen der größeren Protonenmasse gegenüber der Elektronenmasse um einiges kleiner. Für das Kernmagneton von Proton und Neutron gilt

${\mu}_p= 2,79278 \mu_K J/T \hspace{1cm}$ und $\hspace{1cm}g_p=5,58556$
${\mu}_n= -1,91315 \mu_K J/T \hspace{0.65cm}$ und $\hspace{1cm}g_n=-3,8263$

Das gyromagnetische Verhältnis des Kerns ist definiert als

$\gamma_K=\frac{|\vec{\mu}_I|}{|\mathbf{I}|}$

Quadrupolmoment des Kerns

Wenn die Verteilung der Protonen und damit der Ladungen im Kern nicht kugelsymmetrisch ist, hat der Kern ein Quadrupolmoment (QM). Wenn der Kern ein Drehimpuls $I \not= 0$ hat gibt es eine Vorzugsrichtung um die der Kern rotiert, bei $I=0$ allerdings nicht und die Ladungsverteilung ist im Zeitlichen mittel kugelsymmetrisch.

Nur Kerne mit einem Kernspin $I\geq 1 \cdot \hbar$ haben ein von null verschiedenes Quadrupolmoment.


Kernniveaus

Ein einfaches Modell beschreibt die Energieniveaus des Kerns mit dem Modell eines Teilchens im Kastenpotential. Für das Teilchen im dreidimensionalen kugelsymmetrischen Kastenpotential mit Radius $r=a$ erhält man nach Lösung der Schrödingergleichung die Energieniveaus

$E_n=\frac{\hbar^2}{2m} k_n^2 \hspace{1cm}$ mit $k_n=n \cdot \pi /a$


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Da Protonen und Neutronen beide den Spin $I=1/2 \hbar$ haben, sind sie Fermionen und gehorchen dem Pauliprinzip, was bedeutet, dass jedes Energieniveau höchsten von zwei Protonen und zwei Neutronen besetzt werden kann. Wegen der abstoßenden Coulomb-Kraft zwischen den Protonen liegt ihre Energie um $E_C$ höher als die der Neutronen. Die Energieniveaus werden bis zur Fermigrenze $E_F$ gefüllt. Protonen müssen zusätzlich zur Bindungsenergie $E_b$ die Coulombbarriere überwinden, die sie aber auch durch tunneln durchdringen können. Die effektive Bindungsenergie ist dann etwas kleiner. Außerdem ist das Potential tiefer, als die Bindungsenergie weil die Nukleonen aufgrund der Unschäferelation eine große positive kinetische Energie besitzen. Die Austrittsarbeit ist $W_a=E_B=-E_{pot}-E_F$ mit $E_F >0$ und $E_{pot}<0$.

Kernmodelle

In der Kernphysik existiert kein einheitliches Modell zur umfassenden Beschreibung aller Vorgänge im Atomkern. Im Vergleich zu der Atomphysik mit dem erfolgreichen quantenmechanischen Atommodell fehlt im Kern ein besonderes, massives Kraftzentrum, und die Kräfte zwischen den Nukleonen sind um vieles komplizierter als die rein elektromagnetische Wechselwirkung im Atom. Daher werden verschiedene Kernmodelle für unterschiedliche Fragestellungen benutzt. Die wichtigsten sind:

  • Das Tröpfchenmodell (Carl Friedrich von Weizsäcker 1935, Niels Bohr 1936) beschreibt den Atomkern als kugelrundes Tröpfchen einer elektrisch geladenen Flüssigkeit und ergibt eine Formel für seine gesamte Bindungsenergie. Mit diesem fast klassischen Modell kann gut erklärt werden, welche Isotope stabil sind und welche sich noch durch Energieabgabe in ein fester gebundenes (oder zwei) umwandeln können, etwa durch α-Zerfall, β-Zerfall, Kernspaltung. Damit findet u. a. auch die Anzahl verschiedener chemischer Elemente auf der Erde eine Begründung.


Im Tröpfchenmodell setzt sich die gesamte Bindungsenergie eines Atomkerns aus fünf Beiträgen zusammen (Bethe-Weizsäcker-Formel):

File:Troepfchenmodell.png

\[ E_\text{Bindung} = E_\text{Volumen} - E_\mathrm{Oberfl\ddot{a}che} - E_\text{Coulomb} - E_\mathrm{Symmetrie} \pm E_\text{Paarung} \]

\[ E_\text{Bindung} = a_\mathrm{V} \cdot A - a_\mathrm{O} \cdot A^{\frac{2}{3}} - a_\mathrm{C} \cdot Z \cdot (Z-1) \cdot A^{-{\frac{1}{3}}} - a_\mathrm{S} \cdot \frac{(N - Z)^2}{4 A} + \begin{cases} + a_\mathrm{P} \cdot A^{-\frac{1}{2}} & \mathrm{f\ddot{u}r}\text{ gg-Kerne} \\ 0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\text{ ug- und gu-Kerne} \\ - a_\mathrm{P} \cdot A^{-\frac{1}{2}} & \mathrm{f\ddot{u}r}\text{ uu-Kerne} \end{cases} \]

Die Addition der Anteile ergibt also die Bindungsenergie. Die Formel ist unbrauchbar für sehr leichte Atomkerne mit geringer Nukleonenzahl, für größere Kerne ist sie eine gute Näherung. Aber auch hier kann sie beispielsweise die Magischen Zahlen nicht erklären, erst das Schalenmodell liefert dafür eine Erklärung.
Die Bindungsenergie pro Nukleon ergibt sich hieraus durch Division durch die Nukleonenzahl \(A\).
Über die Bindungsenergie lässt sich die gesamte Kernmasse m berechnen

\[\, m = N m_n + Z m_p - E_B/ c^2 \]

mit der Ruhemasse des Neutrons \(m_n\) = 939,553 MeV/c² und der Ruhemasse des Protons \(\,m_p\) = 938,259 MeV/c². Mit dieser Erweiterung wird die Formel auch häufig Massenformel genannt. Die für den Kern erhaltene Masse lässt sich über die Beziehung \(\, E = m c^2 \) auch durch eine Energie ausdrücken.


  • Das Schalenmodell für Kerne (Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer, J. Hans D. Jensen, 1949) führt den Aufbau der Atomkerne in Analogie zum Schalenmodell der Atomphysik rein auf quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten (Orbitale in einem Potentialtopf, Pauli-Prinzip) zurück. Die Wechselwirkung zwischen je zwei Nukleonen wird erst in einer weiteren Verfeinerung berücksichtigt. Das Schalenmodell kann die Stabilität der Kerne gut erklären, wo sie vom Tröpfchenmodell abweicht, insbesondere die hohe Stabilität bei bestimmten, sogenannten magischen Protonen- und Neutronenanzahlen. Es liefert auch detaillierte Erklärungen für Energieniveaus, Kernspins, magnetische Momente, Mechanismen von Kernreaktionen, soweit sie von der Bewegung eines einzigen oder nur sehr weniger Nukleonen des Kerns herrühren. Häufig werden aber angeregte Zustände eines Atomkerns unter Beteiligung vieler oder sogar aller Nukleonen gebildet.

Das Schalenmodell erklärt die Magischen Zahlen, als solche bezeichnet man bestimmte Neutronen- und Protonenzahlen in Atomkernen, bei denen eine höhere Stabilität als bei benachbarten Nukliden beobachtet wird. Solche Kerne selbst werden auch als magische Kerne bezeichnet. Auf dieser Basis werden auch Inseln der Stabilität bei Ordnungszahlen oberhalb der natürlich vorkommenden Elemente vorhergesagt.

Island-of-Stability.png

  • Im Kollektivmodell (Aage Niels Bohr, Ben Mottelson, 1953) hat der Kern keine exakte Kugelgestalt, sondern ist in einer Richtung leicht abgeplattet oder gestreckt, wie es sich durch die elektrischen Quadrupolmomente vieler Kerne schon gezeigt hatte. Damit sind Anregungszustände in Form kollektiver Vibration und kollektiver Rotation möglich, an der sich also alle Nukleonen beteiligen. Folge ist ein charakteristisches Niveauschema der angeregten Zustände in Form der Vibrationsbande bzw. Rotationsbande.
  • Im vereinten Modell (unified model, James Rainwater 1957) werden Schalenmodell und Kollektivmodell verbunden.