Unbestimmtheitsrelation

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Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation besagt, dass zwei komplementäre Eigenschafen wie z.B. Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind. Diese Unschärfe wird nicht durch die Ungenauigkeit der Messung verursacht, sondern liegt in der Natur der Sache.

Zur Erörterung betrachen wir das Gaußsche Wellenpaket zur Zeit $t=0$ in einer Dimension

$\psi(x,0)=\left( \frac{2}{\pi a^2}\right)^{1/4} \cdot e^{-x^2/a^2} \cdot e^{i k_0 x}$

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$|\psi(x,0)|^2=\left( \frac{2}{\pi a^2}\right)^{1/2} \cdot e^{-2x^2/a^2}$


Das Wellenpaket hat seine maximale Amplitude bei $x=0$. Für $x_{1,2}=\pm a/2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $|\psi(x,0)|^2$ auf $1/\sqrt{e}$ des Maximalwertes gesunken. Man definiert überlicherweise jene Breite $x_2-x_1=\Delta x =a$ als die Breite des Wellenpakets.

Wir suchen den zugehörigen Wellenvektor $k_1-k_0=\Delta k$ bei dem die Amplitude auf $1/\sqrt{e}$ von $C_0^2$ abgefallen ist.

$|C(k_1)|^2=C_0^2/\sqrt{e}=C_0^2 e^{-2\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2(k-k_0)^2} \Rightarrow \Delta k = 1/a$

Das Produkt aus Breite $\Delta x$ des Wellenpaketes und $\Delta k$ der Breite des Wellenzahlintervalls des Wellenpaketes ist 1.

$\Delta x \cdot \Delta k = 1$

Über die Beziehung $p=\hbar k$ bekommen wir die Heisenberg'sche Unschärferelation, die besagt, dass das Produkt aus Ortsunschärfe und Impulsunschärfe immer größer als $\hbar$ ist.

$\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar$


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Man bekommt eine Analoge Formel wenn man die Wellenfunktion mit Amplitudenverteilung von $\omega$ abhängt Taylorentwickelt.

$\psi(x,0)=2C(\omega_0) \cdot \frac{sin(u \cdot \Delta \omega)}{u} e^{i(\omega_0 t - k_0 t)} \cdot e^{-2x^2/a^2}$

Das Maximum des Wellenpaketes bewegt sich mit $v_G$ fort ($u=\left( \frac{dk}{d\omega} \right)_{\omega_0} \cdot t - x$)

An einem festen Punkt $x_0$ erscheint das Maximum der Wellenfunktion zur Zeit $t_0=\left( \frac{d\omega}{dk} \right) \cdot x_0$. Die benachbarten Nullstellen des Wellenpaketes überqueren $x_0$ zu den Zeiten $t_0 \pm \pi/\Delta \omega$.

$t_{1,2}=\left(\frac{dk}{d\omega}\right)_{\omega_0}x_0 \pm \frac{\pi}{\Delta \omega}$

Die Welle braucht also die Zeit $\Delta t=2 \pi/\Delta \omega$ um den Punkt $x_0$ zu überschreiten. Mit der Energie $E=\hbar \omega$ erhält man so die Energie-Zeit-Unschärferelation

$\Delta E \cdot \Delta t \geq 2\pi \hbar = h$

Wird ein Teilchen nur im begrenzenten Zeitintervall $\Delta t$ beobachtet, so kann seine Energie nur mit der Unschäfte $\Delta E$ bestimmt werden.


Tonaufnahmen von Werner Heisenberg (1968) [1]
Tonaufnahmen von Werner Heisenberg (1967) [2]
Tonaufnahme - Heisenberg über Goethe und Abstraktion (1968) [3]