Wellenfunktion

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Komplexe Wellenfunktionen für Wasserstoff und wasserstoffähnliche Atome
Orbital Wellenfunktion des Orbitals Form (nicht maßstäblich)
\(n\) \(l\) \(m\) \(\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)\)
1s 1 0 0 \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2} e^{-\textstyle\frac{Zr}{a_0}}\) 1s-Orbital
2s 2 0 0 \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}\) 2s-Orbital
2p0 2 1 0 \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}\cos\theta\) 2pz-Orbital
2p-1/+1 2 1 ±1 \(\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}\sin\theta e^{\pm i\phi}\) 2px-Orbital 2py-Orbital
3s 3 0 0 \(\frac{1}{81\sqrt{3\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(27-18\frac{Zr}{a_0}+2\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\) 3s-Orbital
3p0 3 1 0 \(\frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\cos\theta\) 3pz-Orbital
3p-1/+1 3 1 ±1 \(\frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin\theta e^{\pm i\phi}\) 3px-Orbital 3py-Orbital
3d0 3 2 0 \(\frac{1}{81\sqrt{6\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}(3\cos^2\theta -1)\) 3dz²-Orbital
3d-1/+1 3 2 ±1 \(\frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin\theta\cos\theta e^{\pm i\phi}\) 3dxz-Orbital 3dyz-Orbital
3d-2/+2 3 2 ±2 \(\frac{1}{162\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin^2\theta e^{\pm 2i\phi}\) 3dxy-Orbital 3dx²-y²-Orbital


Unterschied zwischen Bohr'schem Atommodell und quantenmechanischer Beschreibung


Die Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektrons im Wasserstoffatom ist

$W(r)dr = \int\limits_{\vartheta =0}^{\pi} \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} |\psi(r,\vartheta, \varphi)|^2 \cdot r^2 \cdot dr \cdot sin\vartheta \cdot d\vartheta \cdot d\varphi$

sodass man für $n=1$, $l=0$ und $m=0$ erhält

$W(r)dr = \frac{4Z^3}{a_0^3} \cdot r^2 \cdot e^{-2Zr/a_0}dr$

Im $1s$ Zustand ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Intervall $[r,r+dr]$ zu finden

$W(r)dr = 4\pi r^2 |\psi(r,\vartheta, \varphi)|^2 dr$

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Das Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons $r_m$ entspricht mit $Z=1$ genau dem Bohr'schen Radius. Die Quantenmechanische Beschreibung präzisiert das Bohr'sche Modell aber dadurch, dass sich das Elektron nicht genau auf einer Bahn mit bestimmtem Radius befindet, sonder sich nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit in bestimmten Radialbereichen aufhält.

Weil für das Wasserstoffatom bei Summation der Aufenthaltswahrscheinlichkeit $|\psi(r,\vartheta, \varphi)|^2$ bei fixem $n$ über alle zugehörigen $m,l$ immer eine kugelsymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung bekommt, nennt man die Summe all dieser Zustände Elektronenschale.